整数問題（３０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、整数問題です。

問題は、
「黒板に１、２、・・・、１０の１０個の整数が書いてある。黒板から整数ａ、ｂを選んで消し、新たにａ－ｂを書くという操作を繰り返して行う。黒板に書かれている整数が１つだけになったとき、その整数は０でないことを示せ。」
です。

操作をｎ回行った後の黒板に書かれている数の和を Ｓn として、ａ、ｂ、ａ－ｂ、Ｓn、Ｓn+1 の偶奇を調べましょう。

（１）ａとｂが偶数の場合
ａ－ｂは偶数なので、黒板の数は、偶数が２個消され、偶数が１個書かれることになります。

したがって、Ｓn が偶数のとき、Ｓn+1 は偶数で、Ｓn が奇数のとき、Ｓn+1 は奇数になります。つまり、Ｓn と Ｓn+1 の偶奇は同じ です。

（２）ａが偶数、ｂが奇数 または、ａが奇数、ｂが偶数の場合
ａ－ｂは奇数なので、黒板の数は、偶数と奇数が１個ずつ消され、奇数が１個書かれることになります。

したがって、Ｓn が偶数のとき、Ｓn+1 は偶数で、Ｓn が奇数のとき、Ｓn+1 は奇数になります。つまり、Ｓn と Ｓn+1 の偶奇は同じ です。

（３）ａ、ｂが奇数の場合
ａ－ｂは偶数なので、黒板の数は、奇数が２個消され、偶数が１個書かれることになります。

したがって、Ｓn が偶数のとき、Ｓn+1 は偶数で、Ｓn が奇数のとき、Ｓn+1 は奇数になります。つまり、Ｓn と Ｓn+1 の偶奇は同じ です。

以上から、Ｓn+1 の偶奇は、２個の数の選び方によらず、Ｓn と同じになることが判りました。

一方、 Ｓ0＝１＋２＋・・・＋１０＝５５ で、これは奇数です。

したがって、最後に黒板に書かれた１個の数は奇数になり０になることはありません。


類題で、これより難しいものが平成１８年度の日本数学オリンピック本選で出題されています。（日本数学オリンピックの難しい問題（２０））　興味のある方は覗いてみてください。