３変数の整数方程式

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日と同様、秋晴れになりました。昨日に比べて湿度が高いようで、少し蒸し暑く感じます。

先日、東大大学院入試問題で、ｍｎ－３ｍ－２ｎ＝０　を満たす自然数ｍ、ｎの組を求める問題を紹介しましたが、今回は変数が３つあるものを紹介します。

問題は、２００２年の同志社大に出題されたもので、
「０＜ｘ≦ｙ≦ｚ　である整数ｘ、ｙ、ｚについて、
ｘｙｚ＋ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＋５
を満たす整数ｘ、ｙ、ｚをすべて求めよ」
というものです。

これも東大大学院の問題と同様に因数分解すれば簡単です。まず、右辺のｘｙ、ｙｚ、ｚｘの項を移項して、
ｘｙｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘ＋ｙ＋ｚ＝５
とし、左辺を因数分解すると、
（ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＋１＝５
より、
（ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝４
を得ます。

ここで、ｘ－１、ｙ－１、ｚ－１　は正の整数で、０≦ｘ－１≦ｙ－１≦ｚ－１　が成り立ち、かつ、４の約数なので、
（ｘ－１、ｙ－１、ｚ－１）＝（１、１、４）、（１、２、２）
となります。

したがって、
（ｘ、ｙ、ｚ）＝（２、２、５）、（２、３、３）
が正解になります。

実はこの問題には続きがあって、
「０＜ｘ≦ｙ≦ｚ　である整数ｘ、ｙ、ｚについて、
ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ　　
を満たす整数ｘ、ｙ、ｚをすべて求めよ」
というものです。

残念ながら、
ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ　　（１）　
は、因数分解できないので別の方法を考えなければならないのですが、東大大学院入試問題で示したように、（１）の両辺をｘｙｚで割るのが定番のテクニックです。

すると、
１＝１/ｙｚ＋１/ｚｘ＋１/ｘｙ　　（２）
となります。

ここで、０＜ｘ≦ｙ≦ｚ　なので、
３/ｚ^2≦１/ｙｚ＋１/ｚｘ＋１/ｘｙ≦３/ｘ^2　　　（ｘ^2はｘの２乗を表します。また、左の不等式は不要です）

したがって、
１≦３/ｘ^2
ｘ^2≦３
より、
ｘ＝１
となります。

（１）にｘ＝１を代入すると、
ｙｚ＝ｙ＋ｚ＋１　　　（３）
となり、これは因数分解できるので（（ｙ－１）（ｚ－１）＝２））簡単に解けるのですが、ここでは（３）の両辺をｙｚで割って解きます。

１＝１/ｚ＋１/ｙ＋１/ｙｚ　　　（４）
３/ｙｚ≦１/ｚ＋１/ｙ＋１/ｙｚ≦３/ｙ

したがって、
１≦３/ｙ
ｙ≦３
となります。

最後に、（３）に、ｙ＝１、２、３を代入し、ｚを求めると、
ｙ＝１のとき、
ｚ＝ｚ＋２
で不適

ｙ＝２のとき、
２ｚ＝ｚ＋３
より、
ｚ＝３

ｙ＝３のとき、
３ｚ＝ｚ＋４
より、
ｚ＝２
これは、ｙ≦ｚより不適

となり、正解は、（ｘ、ｙ、ｚ）＝（１、２、３）となります。

また、より簡単な解法として、
ｘｙｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ≦３ｚ
から
ｘｙ≦３
を導く方法もあります。

以上のような整数方程式の問題では、因数分解して約数を調べるか、因数分解できなければ、一番次数の高い項で割って不等式を作り、変数の範囲を絞り込むというテクニックを覚えておきましょう。