中学生でも手が届く京大入試問題（４４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成２２年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「△ＡＢＣにおいて ＡＢ＝２、ＡＣ＝１ とする。∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣの交点をＤとする。ＡＤ＝ＢＤとなるとき、△ＡＢＣの面積を求めよ。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図２のように、角の二等分線定理から
ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝２：１
で、これから、
ＢＤ：ＢＣ＝２：３

です。

▲図２．ＢＤ：ＤＣ＝２：１ です

一方、
ＡＤ＝ＢＤ
から、△ＤＡＢは二等辺三角形で、
∠ＤＡＢ＝∠ＤＢＡ＝●
です。

このとき、三角形の外角はそれと隣り合わない２つの内角の和に等しいので、
∠ＡＤＣ＝∠ＤＡＢ＋∠ＤＢＡ＝２●
になります。

すると△ＡＢＣと△ＤＡＣにおいて、
∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＣ＝２●
∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＣ＝●
から、
△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ
で、したがって、
ＡＢ：ＢＣ＝ＤＡ：ＡＣ　　（２）
が成り立ちます。

ここで、（２）に、

を代入すると、

です。

つまり△ＡＢＣは、図３のように、３辺の比が

の三角形で、これは、内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形です。

▲図３．△ＡＢＣは、内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形です

以上から、△ＡＢＣの面積は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。