中学入試問題Ｈ３１（５）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３１年度灘中入試問題を取り上げます。

問題は、
「下の図のような点Ｏを中心とする円について、斜線部分の面積の和は［　　］ｃｍ2です。」

▲問題図

です。

三平方の定理などを使えば簡単に片付いてしまいますが、ここでは円をいくつかの合同な図形に分割するやり方を試してみましょう。

まず図１のように、円周と直線、直線と直線の交点をＡ～Ｄ、Ｐ～Ｒとし、△ＡＢＰと△ＣＤＰの面積を計算します。

▲図１．△ＡＢＰと△ＣＤＰの面積を計算します

△ＡＢＰの面積は、４×１２×１/２＝２４ｃｍ2 です。

ＰＢ＝１２ｃｍ、ＱＯ＝５ｃｍ からＲＢ＝７ｃｍ で、ＲＢ＝ＤＲからＤＲ＝７ｃｍ になり、ＤＰ＝２ｃｍ です。

また、ＡＱ＝ＱＣからＱＣ＝５ｃｍ で、ＰＣ＝６ｃｍ なので、△ＣＤＰの面積は、６×２×１/２＝６ｃｍ2 です。

次に、円の半径を調べましょう。

図２のように、１辺の長さが５ｃｍの正方形ＯＱＣＳを作ると、その面積は２５ｃｍ2です。

▲図２．円の面積を計算します

一方、この正方形ＯＱＣＳの対角線ＯＣは円の半径ｒで、△ＯＣＱと△ＯＣＳの面積はそれぞれ、ＯＣ×ＱＴ×１/２とＯＣ×ＳＴ×１/２
になり、ＯＣ＝ｒ、ＱＴ＝ＳＴ＝ｒ/２からいずれの面積もｒ×ｒ/４になります。

これらの２つの三角形の面積の和が正方形ＯＱＣＳの面積２５ｃｍ2と等しくなるので、ｒ×ｒ×１/４×２＝２５ｃｍ2 になり、したがって、ｒ×ｒ＝５０ｃｍ2 が成り立ちます。

このとき、円の面積は、ｒ×ｒ×３．１４ なので、５０×３，１４＝１５７ｃｍ2 になります。

これで準備完了です。円を分割して斜線部分の面積の和を計算しましょう。

図３のように、点Ｏを対称の中心として、線分ＡＣと線分ＢＤを１８０度回転移動すると、それぞれ線分ＧＥと線分ＨＦになります。

▲図３．円を分割しました

このとき、これらの４本の線分で円は９個の図形に分割され、それらのうち４個の①、２個の②、２個の③はそれぞれ合同な図形になるので、
（①の面積）×４＋（②の面積）×２＋（③の面積）×２＋（④の面積）＝円の面積＝１５７ｃｍ2
になります。

ここで、（④の面積）＝２×１０＝２０ｃｍ2 から
（①の面積）×４＋（②の面積）×２＋（③の面積）×２＝１３７ｃｍ2
で、両辺を２で割って、
（①の面積）×２＋（②の面積）＋（③の面積）＝６８．５ｃｍ2
が成り立ちます。

一方、２つの斜線部分を含む図形は、２個の①、１個の②、１個の③なので、それらの面積の和は６８．５ｃｍ2になり、これから△ＡＢＰと△ＣＤＰの面積を引いたものが斜線部分の面積になります。

初めに求めたように、△ＡＢＰと△ＣＤＰの面積はそれぞれ ２４ｃｍ2と６ｃｍ2 なので、斜線部分の面積の和は、
６８．５－２４－６＝ ３８．５ ｃｍ2
で、これが答えです。


楽しい問題です。