整数問題（６）［桜蔭中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１２年桜蔭中入試問題で出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「次の［　］にあてはまる数を答えなさい。

　４けたの整数のうち、２８の倍数は［ア］個あります。また、２８で割ると小数第１位でちょうど割り切れる４けたの整数のうち、最も小さい数は［イ］です。４けたの整数のうち、２８で割ると小数第１位でちょうど割り切れる数は［ウ］個あります。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

アは簡単です。

１から９９９９までの整数で２８の倍数の個数は、
９９９９÷２８＝３５７・・・３
から、３５７個です。

また、１から９９９までの整数で２８の倍数の個数は、
９９９÷２８＝３５・・・１９
から、３５個です。

したがって、１０００から９９９９までの整数で２８の倍数の個数は、
３５７－３５＝３２２（個）
で、これがアの答えです。

続いてイです。

４けたの整数をＡとすると、
Ａ/２８＝Ａ/（２×２×７）　　　（★）
が小数第１位までの小数になるということです。

ここで、Ａが７の倍数でなければ、★は無限小数になり、小数第１位までの小数になりません。したがって、Ａは７の倍数です。

さらに、７の倍数のＡが４（＝２×２）の倍数であれば、★は整数になり、一方、４の倍数でなければ、★は＊＊．２５または＊＊．７５といった小数第２位までの小数になります。したがって、Ａは２の倍数になります。

以上から、Ａは１４（＝２×７）の倍数で、かつ、２８（＝２×２×７）の倍数でない４けたの整数です。

そこで、４けたの整数で１４の倍数であるものを小さい順に計算すると、
１０００÷１４＝７１・・・６
から、
１４×７２＝１００８
１４×７３＝１０２２
１４×７４＝１０３６
　　　　・
　　　　・
　　　　・
です。

さらに、４けたの整数で２８の倍数であるものを小さい順に計算すると、
１０００÷２８＝３５・・・２０
から、
２８×３６＝１００８
２８×３７＝１０３６
２８×３８＝１０６４
　　　　・
　　　　・
　　　　・
です。

以上から、１４の倍数であり、かつ、２８の倍数でない４けたの整数の最小のものは、１０２２ でこれが答えです。

最後にウです。

１から９９９９までの整数で１４の倍数の個数は、
９９９９÷１４＝７１４・・・４
から、７１４個です。

また、１から９９９までの整数で１４の倍数の個数は、
９９９÷１４＝７１・・・６
から、７１個です。

したがって、１０００から９９９９までの整数で１４の倍数の個数は、
７１４－７１＝６４３ （個）
になります。

一方、アで勘定したように、１０００から９９９９までの整数で２８の倍数の個数は３２２個なので、１０００から９９９９までの整数で１４の倍数で、かつ、２８の倍数でないものの個数は、
６４３－３２２＝３２１（個）
で、これがウの答えです。

以上をまとめると、ア＝３２２、イ＝１０２２、ウ＝３２１ が答えです。


小数第１位で割り切れるという条件が風変わりで面白い問題です。