数列の問題（４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１６年ＡＩＭＥの数列の問題（改題）です。

問題は、
「正の整数ａ1、ａ2、ａ3、・・・、ａ13 は狭義単調増加数列（ａn+1＞ａn）で、１≦ｋ≦６の正整数ｋに対して、部分列 ａ2k-1、ａ2k、ａ2k+1 は等比数列になり、１≦ｋ≦５の正整数ｋに対して、部分列 ａ2k、ａ2k+1、ａ2k+2 は等差数列になる。
ここで ａ13＝２０１６ のとき、ａ1 を求めよ。」
です。

ａ1＝ａ、部分列 ｛ａ1，ａ2，ａ3｝、｛ａ3，ａ4，ａ5｝、｛ａ5，ａ6，ａ7｝、｛ａ7，ａ8，ａ9｝、｛ａ9，ａ10，ａ11｝、｛ａ11，ａ12，ａ13｝の公比をそれぞれ ｒ1、ｒ2、ｒ3、ｒ4、ｒ5、ｒ6 （これらの公比は１より大きい実数です）とすると、ａn （１≦ｎ≦１３）は下表のようになります。

▲表．ａn を ａと公比 ｒi （１≦ｉ≦６）で表しました

ここで、ａ13＝２０１６ から

が成り立ち、このとき ａ と２０１６が整数であることから、

は整数（かつ平方数）で、（１）を満たすものは、４、９、１６、３６、１４４、つまり、
ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4ｒ5ｒ6＝２，３，４，６，１２
のいずれかになります。

一方、部分列｛ａ2，ａ3，ａ4｝、｛ａ4，ａ5，ａ6｝、｛ａ6，ａ7，ａ8｝、｛ａ8，ａ9，ａ10｝、｛ａ10，ａ11，ａ12｝は等差数列なので、

が成り立ち、これから、

です。

すると（２）から、

になります。

あとは、ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4ｒ5ｒ6＝２（ａ＝５０４），３（ａ＝２２４），４（ａ＝１２６），６（ａ＝５６），１２（ａ＝１４）の場合を調べていきます。

① ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4ｒ5ｒ6＝２の場合

で、これらから数列の各項を計算すると、
｛５０４，５８８，６８６，７８４，８９６，１００８，１１３４，１２６０，１４００，１５４０，１６９４，１８４８，２０１６｝
になり、これは条件を満たします。

② ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4ｒ5ｒ6＝３の場合

で、これらから数列の各項を計算すると、
｛２２４，２９８．６・・・，・・・｝
になり、これは条件を満たしません。

③ ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4ｒ5ｒ6＝４の場合

で、これらから数列の各項を計算すると、
｛１２６，１８９，２８３．５，・・・｝
になり、これは条件を満たしません。

④ ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4ｒ5ｒ6＝６の場合

で、これらから数列の各項を計算すると、
｛５６，１０２．６・・・，・・・｝
になり、これは条件を満たしません。

⑤ ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4ｒ5ｒ6＝１２の場合

で、これらから数列の各項を計算すると、
｛１４，３９．６・・・，・・・｝
になり、これは条件を満たしません。

以上から条件を満たすのは①の場合になり、したがって ａ1＝ ５０４ で、これが答えです。


原題は無限数列ですが、１３項の数列に変更しました。