数列の問題（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。明けましておめでとうございます。本年もよろしくお願い致します。

さて今回は、２００３年ＡＩＭＥの数列の問題です。

問題は、
「２つの等差数列で。それぞれの第１項目同士の積が１４４０，第２項目同士の積が１７１６、第３項目同士の積が１８４８のとき、第８項目の値を求めよ。」
です。

２つの等差数列の初項をａ、ｂ、公差をｃ、ｄとすると、
　　　　　ａｂ　　　　　＝１４４０　　　（１）
　（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）　＝１７１６　　　（２）
（ａ＋２ｃ）（ｂ＋２ｄ）＝１８４８　　　（３）
が成り立ちます。

ここで（２）と（１）から
　ａｂ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｃｄ
＝１４４０＋ａｄ＋ｂｃ＋ｃｄ
＝１７１６
→ ａｄ＋ｂｃ＋ｃｄ＝２７６　　　　　　　（４）
で、（３）と（１）から
　ａｂ＋２ａｄ＋２ｂｃ＋４ｃｄ
＝１４４０＋２ａｄ＋２ｂｃ＋４ｃｄ
＝１８４８
→ ａｄ＋ｂｃ＋２ｃｄ＝２０４　　　　　　（５）
です。

すると、（５）－（４）と（５）－（４）×２から、それぞれ、
ｃｄ＝－７２　　　　　　　　　　　　　　（６）
と
ａｄ＋ｂｃ＝３４８　　　　　　　　　　　（７）
になります。

今、数列の第８項目は、
（ａ＋７ｃ）（ｂ＋７ｄ）＝ａｂ＋７（ａｄ＋ｂｃ）＋４９ｃｄ
で、これに（１）（６）（７）を代入すると、
（第８項目）＝１４４０＋７×３４８－４９×７２
　　　　　　＝１４４０＋２４３６－３５２８
　　　　　　＝３４８
になり、これが答えです。


簡単な問題です。