整数問題（６７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０００年ＡＩＭＥの整数問題です。

問題は、
「互いに素である１０００の正の約数ａとｂを用いて

と表すことができるすべての数の和をＳとするとき、

を超えない最大の整数を求めよ。」
です。


から、互いに素であるａ、ｂは、

ｍ1・ｍ2＝０
ｎ1・ｎ2＝０
と表すことができ、このとき、ｍ1、ｍ2、ｎ1、ｎ2 は、
０≦ｍ1，ｍ2，ｎ1，ｎ2≦３
を満たす整数です。

すると、

で、このとき、
－３≦ｍ1－ｍ2≦３
－３≦ｎ1－ｎ2≦３
から、

になります。

ここで、等比数列の和の公式から、

なので、

です。

したがって、

から、

を超えない最大の整数は ２４８ で、これが答えです。


簡単な問題です。