こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、平成11年度京大入試問題(前期、理系)です。
問題は、
「以下の問いに答えよ。ただし、
が無理数であることは使ってよい。
(1) 有理数p、q、r について、
ならば、p=q=r=0であることを示せ。
(2) 実数係数の2次式
について、
のいずれかは無理数であることを示せ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
から
で、この両辺を2乗すると、
になり、これを変形すると、
です。
このとき[2]の右辺は有理数ですから、左辺が有理数になるためには、
qr=0
になります。
(ⅰ) q=0の場合
[1]は、
になり、[3]の右辺は有理数なので、左辺が有理数になるためには、
r=0
で、したがって、
p=q=r=0
になります。
(ⅱ) r=0の場合
[1]は、
になり、[4]の右辺は有理数なので、左辺が有理数になるためには、
q=0
で、したがって、
p=q=r=0
になります。
以上から、有理数p、q、rについて、[1]が成り立つならば、p=q=r=0 であることを示すことができました。
続いて(2)です。
です。
ここで、[5]が有理数であるならば、
a+b は有理数 [★]
になります。
すると[6]から
は有理数で、
a=-2 [8]
になります。
このとき[7]は、
で、これが有理数ならば、bは無理数になります。
すると、[8]から a+b は無理数になり、これは[★]に反します。
以上から[5]、[6]、[7]が同時に有理数になることなく、したがって、
のいずれかは無理数になります。
(2)は(1)の結果を利用するほうが明快かもしれません。
今回は、平成11年度京大入試問題(前期、理系)です。
問題は、
「以下の問いに答えよ。ただし、
が無理数であることは使ってよい。
(1) 有理数p、q、r について、
ならば、p=q=r=0であることを示せ。
(2) 実数係数の2次式
について、
のいずれかは無理数であることを示せ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
から
で、この両辺を2乗すると、
になり、これを変形すると、
です。
このとき[2]の右辺は有理数ですから、左辺が有理数になるためには、
qr=0
になります。
(ⅰ) q=0の場合
[1]は、
になり、[3]の右辺は有理数なので、左辺が有理数になるためには、
r=0
で、したがって、
p=q=r=0
になります。
(ⅱ) r=0の場合
[1]は、
になり、[4]の右辺は有理数なので、左辺が有理数になるためには、
q=0
で、したがって、
p=q=r=0
になります。
以上から、有理数p、q、rについて、[1]が成り立つならば、p=q=r=0 であることを示すことができました。
続いて(2)です。
です。
ここで、[5]が有理数であるならば、
a+b は有理数 [★]
になります。
すると[6]から
は有理数で、
a=-2 [8]
になります。
このとき[7]は、
で、これが有理数ならば、bは無理数になります。
すると、[8]から a+b は無理数になり、これは[★]に反します。
以上から[5]、[6]、[7]が同時に有理数になることなく、したがって、
のいずれかは無理数になります。
(2)は(1)の結果を利用するほうが明快かもしれません。