整数問題（３１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、整数問題です。

問題は、
「５個の自然数があり、そのうちのいずれの４個の自然数の和も３で割りきれる。このとき、５個の自然数はそれぞれ３で割りきれることを示せ。」
です。

５個の自然数を ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ 、それらの和をＳとすると、
Ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ
で、これから４個の自然数の和は、
ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝Ｓ－ａ　　　（１）
ａ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝Ｓ－ｂ　　　（２）
ａ＋ｂ＋ｄ＋ｅ＝Ｓ－ｃ　　　（３）
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｅ＝Ｓ－ｄ　　　（４）
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝Ｓ－ｄ　　　（５）
になります。

このとき、（１）（２）（３）（４）（５）の左辺は３の倍数なので、左辺の和は３の倍数です。

一方、（１）（２）（３）（４）（５）の右辺の和は、、
５Ｓ－ａ－ｂ－ｃ－ｄ－ｅ＝５Ｓ－（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ）
　　　　　　　　　　　　＝５Ｓ－Ｓ
　　　　　　　　　　　　＝４Ｓ
です。

このとき、左辺の和が３の倍数なので４Ｓは３の倍数になり、さらに４と３は互いに素なので、Ｓは３の倍数になります。

すると、（１）（２）（３）（４）（５）から
〔（４個の自然数の和（３の倍数）〕＝Ｓ（３の倍数）－ａ
〔（４個の自然数の和（３の倍数）〕＝Ｓ（３の倍数）－ｂ
〔（４個の自然数の和（３の倍数）〕＝Ｓ（３の倍数）－ｃ
〔（４個の自然数の和（３の倍数）〕＝Ｓ（３の倍数）－ｄ
〔（４個の自然数の和（３の倍数）〕＝Ｓ（３の倍数）－ｅ
なので、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ はいずれも３の倍数です。

以上から、５個の自然数が与えられた条件を満たすとき、５個の自然数はそれぞれ３で割りきれることを示すことができました。


簡単な問題です。

整数問題（３０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、整数問題です。

問題は、
「黒板に１、２、・・・、１０の１０個の整数が書いてある。黒板から整数ａ、ｂを選んで消し、新たにａ－ｂを書くという操作を繰り返して行う。黒板に書かれている整数が１つだけになったとき、その整数は０でないことを示せ。」
です。

操作をｎ回行った後の黒板に書かれている数の和を Ｓn として、ａ、ｂ、ａ－ｂ、Ｓn、Ｓn+1 の偶奇を調べましょう。

（１）ａとｂが偶数の場合
ａ－ｂは偶数なので、黒板の数は、偶数が２個消され、偶数が１個書かれることになります。

したがって、Ｓn が偶数のとき、Ｓn+1 は偶数で、Ｓn が奇数のとき、Ｓn+1 は奇数になります。つまり、Ｓn と Ｓn+1 の偶奇は同じ です。

（２）ａが偶数、ｂが奇数 または、ａが奇数、ｂが偶数の場合
ａ－ｂは奇数なので、黒板の数は、偶数と奇数が１個ずつ消され、奇数が１個書かれることになります。

したがって、Ｓn が偶数のとき、Ｓn+1 は偶数で、Ｓn が奇数のとき、Ｓn+1 は奇数になります。つまり、Ｓn と Ｓn+1 の偶奇は同じ です。

（３）ａ、ｂが奇数の場合
ａ－ｂは偶数なので、黒板の数は、奇数が２個消され、偶数が１個書かれることになります。

したがって、Ｓn が偶数のとき、Ｓn+1 は偶数で、Ｓn が奇数のとき、Ｓn+1 は奇数になります。つまり、Ｓn と Ｓn+1 の偶奇は同じ です。

以上から、Ｓn+1 の偶奇は、２個の数の選び方によらず、Ｓn と同じになることが判りました。

一方、 Ｓ0＝１＋２＋・・・＋１０＝５５ で、これは奇数です。

したがって、最後に黒板に書かれた１個の数は奇数になり０になることはありません。


類題で、これより難しいものが平成１８年度の日本数学オリンピック本選で出題されています。（日本数学オリンピックの難しい問題（２０））　興味のある方は覗いてみてください。

数式の問題（１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、不等式の問題です。

問題は、
「ａ、ｂ、ｃ、ｄ が正の数であるとき、
　
が成り立つことを示しなさい。」
です。

ａとｂが実数のとき、

から

です。

さらに、ｂ＞０のとき、（１）の両辺をｂで割ると、

が成り立ちます。

同様に、ａ、ｃ、ｄ＞０のとき、

が成り立ちます。

ここで、（２）（３）（４）（５）の辺々を足し合わせると、

になり、与えられた不等式が成り立つことを示すことができました。


簡単な問題です。

図形問題（３２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、図形問題です。

問題は、
「下図のように、直角三角形ＡＢＣの斜辺ＡＢ上の点Ｐから辺ＢＣと辺ＣＡに下ろした垂線の足をそれぞれＱとＲとする。

▲問題図

このとき、

が最小になる点Ｐの位置を求めよ。」
です。

図１のように、斜辺ＡＢ上の点Ｘから辺ＢＣと辺ＣＡに下ろした垂線の足をそれぞれＹとＺとします。

▲図１．斜辺ＡＢ上の点Ｘから辺ＢＣと辺ＣＡに下ろした垂線の足をそれぞれＹとＺとします

ここで、

とすると、△ＸＹＺは直角三角形なので三平方の定理から

が成り立ちます。

一方、四角形ＸＹＣＺは長方形で、その２本の対角線の長さは等しいので、

です。

すると、（１）、（２）、（３）から

になります。

つまり、Ｌが最小になるのはＣＸが最小になるときで、それは図２のように、点Ｘが、頂点Ｃから斜辺ＡＢに下ろした垂線の足Ｐになるときです。

▲図２．Ｌが最小になるのは点Ｘが頂点Ｃから斜辺ＡＢに下ろした垂線の足Ｐになるときです

以上から、

が最小になる点Ｐの位置は、斜辺ＡＢと頂点Ｃから斜辺ＡＢに下ろした垂線の交点になります。


簡単な問題です。

整数問題（２９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、整数問題です。

問題は、
「 ｘ、ｙ、ｚ は自然数で、 ｘ！＋ｙ！＝ｚ！ を満たすとき、ｘ、ｙ、ｚのすべての組合せを求めよ。」
です。

ｘ！＋ｙ！＝ｚ！　　　　　　（１）
から
ｚ！＝ｘ！＋ｙ！≧１！＋１！＝２
なので、
ｚ≧２　　　　　　　　　　　（２）
です。

また、
ｚ！＝ｘ！＋ｙ！＞ｘ！
から
ｚ＞ｘ　　　　　　　　　　　（３）
で、同様に、
ｚ＞ｙ　　　　　　　　　　　（４）
です。

さらに ｘ、ｙ、ｚは自然数なので、（３）と（４）から
ｚ－１≧ｘ　　　　　　　　　（５）
ｚ－１≧ｙ　　　　　　　　　（６）
が成り立ちます。

ここで、ｚ≧３とすると、
ｚ！≧３×（ｚ－１）！
　　＝（ｚ－１）！＋（ｚ－１）！＋（ｚ－１）！
　　≧ｘ！＋ｙ！＋（ｚ－１）！　　〔←（５）と（６）を使いました〕
　　＞ｘ！＋ｙ！
になり、（１）は成り立たちません。

したがって、ｚ＝１ または ２で、さらに（２）から ｚ＝２です。

すると、（３）、（４）から ｘ＝ｙ＝１ で、これは（１）を満たします。

以上から、ｘ、ｙ、ｚ の組合せ（ｘ，ｙ，ｚ）は、（１，１，２）で、これが答えです。


ｘ、ｙが自然数なので、ｚ＞ｘ，ｙ から ｚ－１≧ｘ，ｙ になることを覚えておくといいでしょう。

整数問題（２８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、整数問題です。

問題は、
「 １１・・・１ のように１が連続する整数のなかに、２０１９で割りきれるものが存在することを示しなさい。」
です。

１が連続する整数が無限個存在するのに対して、それらを２０１９で割ったときの余りが異なるものは２０１９個以下です。

したがって、１が連続する異なる２つの整数で、２０１９で割ったときに同じ余りになるものを見つけることができます。

そこで、それらの２つの整数をＮ、Ｍ（Ｎ＞Ｍ）とすると、

です。（このとき、Ｎ－Ｍは２０１９で割り切れます）

一方、２０１９は２でも５でも割り切れないので、

は１以外の公約数をもたず、このとき（★）の左辺Ｎ－Ｍが２０１９で割りきれることから、（★）の右辺の １１・・・１ が２０１９で割りきれることになります。

以上から １が連続する整数のなかに２０１９で割りきれるものが存在することを示すことができました。


簡単な問題です。

面積問題（１７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、面積問題です。

問題は、
「下図のように、△ＡＢＣの辺ＡＢ上に点Ｄ、辺ＢＣ上に点Ｅ、辺ＣＡ上に点Ｆがあり、点Ｄは辺ＡＢを１：２に内分し、点Ｅは辺ＢＣを２；３に内分し、点Ｆは辺ＣＡを３：４に内分する。

▲問題図

また、直線ＡＥと直線ＤＦとの交点をＧとする。

このとき、△ＡＦＧの面積は△ＡＢＣの面積の何倍になるか求めなさい。」
です。

△ＡＢＣの面積をＳとして、△ＡＤＦの面積を求めましょう。

図１のように、頂点Ｃと点Ｄを直線で結んで、△ＡＣＤと△ＢＣＤをつくると、それらの面積比は１：２なので、

です。

▲図１．△ＡＣＤの面積はＳ/３です

次に図２のように、点ＤとＦを直線で結んで、△ＡＤＦと△ＣＤＦをつくると、それらの面積比は４：３なので、

と△ＡＤＦの面積を求めることができました。

▲図２．△ＡＤＦの面積は４Ｓ/２１です

ここで図３のように、△ＡＤＧの面積をＴ、△ＡＦＧの面積をＵとします。

▲図３．△ＡＤＧの面積をＴ、△ＡＦＧの面積をＵとしました

さらに、頂点Ｂ、Ｃと点Ｇをそれぞれ直線で結び、△ＢＤＧと△ＣＦＧをつくると、それらの面積は、
（△ＢＤＧの面積）＝２Ｔ

で、△ＡＢＧと△ＡＣＧの面積はそれぞれ
（△ＡＢＧの面積）＝Ｔ＋２Ｔ＝３Ｔ

になります。

一方、これらの面積比は２：３なので、

が成り立ち、これから

です。

すると、

から、△ＡＧＦの面積は、△ＡＢＣの面積の

で、これが答えです。


簡単な問題です。

整数問題（２７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、整数問題です。

問題は、
「１００！（＝１００×９９×・・・×２×１）の各桁の数の和Ｓ1 をつくり、さらにＳ1 の各桁の数の和Ｓ2 をつくる。これを繰り返し、最後に１桁の数になったときの値を求めなさい。」
です。

下から１桁目の数がａ0、２桁目の数がａ1、・・・、ｎ＋１桁目の数がａn の整数を

と変形しましょう。

ここで、右辺の２つ目の（　）は左辺の整数の各桁の数の和で、もし左辺の整数が９の倍数であれば、右辺の２つ目の（　）、つまり、左辺の整数の各桁の和は９の倍数になります。

そこで １００！ を調べてみると、１００！＝１００×（９×１１）×・・・×２×１と９の倍数なので、その各桁の和Ｓ1 は９の倍数になります。

するとＳ1 が９の倍数なので、Ｓ2 も９の倍数になり、さらに１桁の数になるまでこれを繰り返しいく途中で現れる各桁の数の和Ｓk もすべて９の倍数になります。

したがって、最後の１桁の数も９の倍数で、それは０または９になりますが、１００！≠０なので、０ではありません。

以上から、最後の１桁の数は ９ で、これが答えです。


９の倍数の判定法に関連した問題です。

整数問題（２６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、整数問題です。

問題は、
「２つの数
　
を十進法で表わしたとき、それぞれの桁数の和を求めよ。」
です。


とすると、 ｍ＋ｎ を求めることになります。

このとき、

が成り立ち、さらに、この不等式の左辺、中央、右辺の積をつくると、

で、したがって、
ｍ＋ｎ－２＜２０１９＜ｍ＋ｎ
です。

すると、左側の不等式から
ｍ＋ｎ－２＜２０１９
ｍ＋ｎ＜２０２１
で、右側の不等式から
２０１９＜ｍ＋ｎ
になり、このとき ｍ＋ｎ は整数なので、
ｍ＋ｎ＝２０２０
です。

以上から、与えられた２数のそれぞれの桁数の和は、 ２０２０ で、これが答えです。


簡単な問題です。

図形問題（３１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、図形問題です。

問題は、
「下図に示す△ＡＢＣは、辺ＡＢと辺ＣＡの長さがそれぞれ６と８で、さらにＢＤ＝４、ＣＤ＝５となる点Ｄが辺ＢＣ上にある。

▲問題図

このとき、線分ＡＤの長さを求めよ。」
です。

図１のように、頂点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の足をＨとし、直角三角形ＡＢＨ、ＡＣＨ、ＡＤＨに三平方の定理を適用したり、余弦定理を使ったりして、線分ＡＤの長さを計算することができますが、特に前者は計算が煩雑です。

▲図１．三平方の定理や余弦定理を使って線分ＡＤの長さを求めることができます

そこで相似三角形を見つけて利用できれば嬉しいのですが、案の定、図２のように、△ＡＢＣと△ＤＢＡにおいて、
∠Ｂは共通
ＡＢ：ＢＣ＝６：９＝２：３
ＤＢ：ＢＡ＝４：６＝２：３
から、△ＡＢＣ∽△ＤＢＡです。

▲図２．△ＡＢＣ∽△ＤＢＡです

これから
ＡＢ：ＣＡ＝ＤＢ：ＡＤ
が成り立ち、これに、ＡＢ＝６、ＣＡ＝８、ＤＢ＝４を代入して、
６：８＝４：ＡＤ

で、これが答えです。


線分ＡＤが辺ＢＣに垂直な場合は機械的に相似三角形と利用しますが、垂直でない場合も相似関係を調べてみるといいでしう。

面積問題（１６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、面積問題です。

問題は、
「下図に示すＡＤ//ＢＣの台形ＡＢＣＤで、辺ＣＤの中点をＭ、ＡＰ＝１、ＭＰ＝３となる線分ＡＭ上の点をＰとする。

▲問題図

△ＢＭＰの面積は台形ＡＢＣＤの面積の何倍か。」
です。

図１のように、ＡＤ＝ａ、ＢＣ＝ｂ、辺ＡＤ、ＢＣを底辺としたときの台形ＡＢＣＤの高さをｈとすると、台形ＡＢＣＤの面積は、

です。

▲図１．ＡＤ＝ａ、ＢＣ＝ｂ、高さをｈとしました

また、点Ｍを通り辺ＡＤに平行な直線と辺ＡＢとの交点をＮとすると、

です。

すると、△ＡＢＭの面積は、

です。

一方、ＭＰ：ＭＡ＝３：１から△ＢＭＰの面積は、

で、これと（１）、（２）から

になります。

したがって、△ＢＭＰの面積は台形ＡＢＣＤの面積の

で、これが答えです。


簡単な問題です。

面積問題（１５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、面積問題です。

問題は、
「下図に示す四角形ＡＢＣＤは、∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°、ＡＤ＝２である。

▲問題図

四角形ＡＢＣＤの面積を求めよ。」
です。

３つの角が４５°なので、直角二等辺三角形を作るのが手筋です。

そこで図１のように、辺ＡＤの延長と辺ＢＣとの交点をＥとすると、∠Ａ＝∠Ｂ＝４５°から∠ＡＥＢ＝９０°になり、△ＥＡＢは直角二等辺三角形になります。

▲図１．△ＥＡＢと△ＥＣＤは直角二等辺三角形です

さらに、∠Ｃ＝４５°、∠ＣＥＤ＝９０°から∠ＣＤＥ＝４５°になり、△ＥＣＤも直角二等辺三角形です。

ここで、ＢＥ＝ｘ、ＣＥ＝ｙとすると、ＡＥ＝ｘ、ＤＥ＝ｙなので、△ＡＢＥの面積Ｓ△ABEと△ＥＣＤの面積Ｓ△DCEは、

で、したがって、四角形ＡＢＣＤの面積Ｓ四角形ABCDは、

になります。

一方、三角形ＢＤＥは∠ＢＥＤ＝９０°の直角三角形で、ここで三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、ＢＥ＝ｘ、ＤＥ＝ｙ、ＢＤ＝２を代入すると、

です。

これを（★）に代入すると、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

作図問題（２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、作図問題です。

問題は、
「下図のように、長方形ＡＢＣＤの内部に長方形ＥＦＧＨがある。

▲問題図

このとき、長方形ＡＢＣＤの面積と長方形ＥＦＧＨの面積との差（斜線部）を２等分する直線 ｌ を作図せよ。」
です。

長方形の面積を２等分する直線は、その長方形の対角線の交点を通ることを利用すれば簡単です。（平行四辺形も同じなので頭に入れておくといいでしょう）

そこで図１のように、長方形ＡＢＣＤと長方形ＥＦＧＨについて、それぞれの対角線の交点Ｐ、Ｑを求めます。

▲図１．２つの長方形について、それぞれの対角線の交点をＰ、Ｑとしました

そして図２のように、点ＰとＱを直線で結べば、これが直線 ｌ で、これが答えです。

▲図２．直線ＰＱが直線 ｌ になります

このように、２つの長方形の対角線の交点を結んで直線 ｌ を作図するのが最も簡単ですが、他にも作図方法はあって、例えば、長方形ＡＢＣＤの対角線の交点を通る直線が長方形ＤＥＦＧを分割しない場合、図３のように直線 ｌ を作図することも可能です。

▲図３．他の作図例

この作図方法は、
（１）長方形ＡＢＣＤの対角線の交点Ｐを求める
（２）長方形ＥＦＧＨの１つの辺（この場合辺ＧＨ）に平行で点Ｐを通る直線ＬＭを引く
（３）直線ＬＭ上にＧＨ＝ＭＮを満たす点Ｎを求める
（４）直線ＬＭに垂直で点Ｌを通る直線上にＥＨ＝ＬＲを満たす点Ｒを求める（このとき点Ｒは直線ＬＭに対して長方形ＥＦＧＨと反対側にとる）
（５）直線ＬＭに垂直で点Ｎを通る直線と直線ＭＲとの交点をＳとする
（６）線分ＮＳの垂直二等分線と辺ＡＤ、ＢＣとの交点をそれぞれＸ、Ｙとする
で、すると、直線ＸＹが直線 ｌ になります。

さらに、長方形ＡＢＣＤの対角線の交点を通る直線が長方形ＤＥＦＧを分割する場合も、上記と同じような操作で直線 ｌ 作図することができます。興味のある方は調べてみてください。

中学生でも解ける京大大学院入試問題（４）（つづき２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３１年度京大大学院理学研究科生物科学選考入試問題のつづきです。

問題は、
「漸化式 ａn+2＝ａn+1＋ａn と、初めの２項 ａ0＝０、ａ1＝１ で定義される数列｛ａn｝を考える。
このとき、以下の設問（１）～（３）のすべてに解答せよ。

（１） ａn を第１０項まで（ｎ＝２，・・・，１０）示せ。

（２） 隣り合う２項の比 ａn+1/ａn が ｎ→∞ において一定値λに収束すると仮定し、その値 λ を求めよ。

（３） 以下の形式を用いて、数列｛ａn｝ の一般項を求めよ。
　　　　　　　
　　　　　　　ａn+2－αａn+1＝β（ａn+1－αａn）
　　　　　　　ａn+2－βａn+1＝α（ａn+1－βａn）　　」
です。

今回は、最後の（３）です。

（３）で与えられた式を変形すると、
ａn+2＝（α＋β）ａn+1－αβａn
になり、これが与えられた漸化式と一致するのは、
α＋β＝１
αβ＝－１
の場合です。

このとき、α、βは、２次方程式の解と係数の関係から

の解になり、したがって、それらは、

です。

次に（３）で与えられた式を
ａn+2－αａn+1＝β（ａn+1－　αａn）
ａn+1－αａn　＝β（ａn　－αａn-1）
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　ａ3－αａ2　＝β（ａ2　－　αａ1）
　ａ2－αａ1　＝β（ａ1　－　αａ0）
と並べ、これらの辺々の積をつくると、

で、これに ａ1＝１、ａ0＝０ を代入すると、

になります。

これと同様に、

が成り立ちます。

すると、（４）－（３）から

で、このときα－β≠０なので、

が成り立ち、したがって、

です。

ここで、

とすると、

になり、これらを（５）に代入すると、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

中学生でも解ける京大大学院入試問題（４）（つづき１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３１年度京大大学院理学研究科生物科学選考入試問題のつづきです。

問題は、
「漸化式 ａn+2＝ａn+1＋ａn と、初めの２項 ａ0＝０、ａ1＝１ で定義される数列｛ａn｝を考える。
このとき、以下の設問（１）～（３）のすべてに解答せよ。

（１） ａn を第１０項まで（ｎ＝２，・・・，１０）示せ。

（２） 隣り合う２項の比 ａn+1/ａn が ｎ→∞ において一定値λに収束すると仮定し、その値 λ を求めよ。

（３） 以下の形式を用いて、数列｛ａn｝ の一般項を求めよ。
　　　　　　　
　　　　　　　ａn+2－αａn+1＝β（ａn+1－αａn）
　　　　　　　ａn+2－βａn+1＝α（ａn+1－βａn）　　」
です。

今回は（２）です。

ａn+1＞０ なので、与えられた漸化式の両辺を ａn+1 で割ると、

になり、これを

と変形します。

ここで、ｎ→∞ のとき、

なので、（１）から

が成り立ち、これから、

です。

そこで（２）の２次方程式を解くと、

になり、ａn＞０（ｎ≧１）から λ＞０なので、

で、これが答えです。


次回は（３）です。