こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、整数問題です。
問題は、
「5個の自然数があり、そのうちのいずれの4個の自然数の和も3で割りきれる。このとき、5個の自然数はそれぞれ3で割りきれることを示せ。」
です。
5個の自然数を a、b、c、d、e 、それらの和をSとすると、
S=a+b+c+d+e
で、これから4個の自然数の和は、
b+c+d+e=S-a (1)
a+c+d+e=S-b (2)
a+b+d+e=S-c (3)
a+b+c+e=S-d (4)
a+b+c+d=S-d (5)
になります。
このとき、(1)(2)(3)(4)(5)の左辺は3の倍数なので、左辺の和は3の倍数です。
一方、(1)(2)(3)(4)(5)の右辺の和は、、
5S-a-b-c-d-e=5S-(a+b+c+d+e)
=5S-S
=4S
です。
このとき、左辺の和が3の倍数なので4Sは3の倍数になり、さらに4と3は互いに素なので、Sは3の倍数になります。
すると、(1)(2)(3)(4)(5)から
〔(4個の自然数の和(3の倍数)〕=S(3の倍数)-a
〔(4個の自然数の和(3の倍数)〕=S(3の倍数)-b
〔(4個の自然数の和(3の倍数)〕=S(3の倍数)-c
〔(4個の自然数の和(3の倍数)〕=S(3の倍数)-d
〔(4個の自然数の和(3の倍数)〕=S(3の倍数)-e
なので、a、b、c、d、e はいずれも3の倍数です。
以上から、5個の自然数が与えられた条件を満たすとき、5個の自然数はそれぞれ3で割りきれることを示すことができました。
簡単な問題です。
今回は、整数問題です。
問題は、
「5個の自然数があり、そのうちのいずれの4個の自然数の和も3で割りきれる。このとき、5個の自然数はそれぞれ3で割りきれることを示せ。」
です。
5個の自然数を a、b、c、d、e 、それらの和をSとすると、
S=a+b+c+d+e
で、これから4個の自然数の和は、
b+c+d+e=S-a (1)
a+c+d+e=S-b (2)
a+b+d+e=S-c (3)
a+b+c+e=S-d (4)
a+b+c+d=S-d (5)
になります。
このとき、(1)(2)(3)(4)(5)の左辺は3の倍数なので、左辺の和は3の倍数です。
一方、(1)(2)(3)(4)(5)の右辺の和は、、
5S-a-b-c-d-e=5S-(a+b+c+d+e)
=5S-S
=4S
です。
このとき、左辺の和が3の倍数なので4Sは3の倍数になり、さらに4と3は互いに素なので、Sは3の倍数になります。
すると、(1)(2)(3)(4)(5)から
〔(4個の自然数の和(3の倍数)〕=S(3の倍数)-a
〔(4個の自然数の和(3の倍数)〕=S(3の倍数)-b
〔(4個の自然数の和(3の倍数)〕=S(3の倍数)-c
〔(4個の自然数の和(3の倍数)〕=S(3の倍数)-d
〔(4個の自然数の和(3の倍数)〕=S(3の倍数)-e
なので、a、b、c、d、e はいずれも3の倍数です。
以上から、5個の自然数が与えられた条件を満たすとき、5個の自然数はそれぞれ3で割りきれることを示すことができました。
簡単な問題です。