整数問題（２７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、整数問題です。

問題は、
「１００！（＝１００×９９×・・・×２×１）の各桁の数の和Ｓ1 をつくり、さらにＳ1 の各桁の数の和Ｓ2 をつくる。これを繰り返し、最後に１桁の数になったときの値を求めなさい。」
です。

下から１桁目の数がａ0、２桁目の数がａ1、・・・、ｎ＋１桁目の数がａn の整数を

と変形しましょう。

ここで、右辺の２つ目の（　）は左辺の整数の各桁の数の和で、もし左辺の整数が９の倍数であれば、右辺の２つ目の（　）、つまり、左辺の整数の各桁の和は９の倍数になります。

そこで １００！ を調べてみると、１００！＝１００×（９×１１）×・・・×２×１と９の倍数なので、その各桁の和Ｓ1 は９の倍数になります。

するとＳ1 が９の倍数なので、Ｓ2 も９の倍数になり、さらに１桁の数になるまでこれを繰り返しいく途中で現れる各桁の数の和Ｓk もすべて９の倍数になります。

したがって、最後の１桁の数も９の倍数で、それは０または９になりますが、１００！≠０なので、０ではありません。

以上から、最後の１桁の数は ９ で、これが答えです。


９の倍数の判定法に関連した問題です。