―「午前中の記事」を書き直します。―
(01)
(ⅰ)
1 (1) ∀x(Fx→Gx) A
2 (2) ∀x(Fx∨Gx) A
1 (3) Fa→Ga 1UE
2 (4) Fa∨Ga 2UE
5 (5) Fa A
1 5 (6) Ga 35MPP
7 (7) Ga A
12 (8) Ga 45677∨E
1 (9) Fa∨Ga→Ga 48CP
ア(ア) Ga A
ア(イ) Fa∨Ga ア∨I
(ウ) Ga→Fa∨Ga アイCP
1 (エ) (Fa∨Ga→Ga)&
(Ga→Fa∨Ga) 9ウ&I
1 (オ) Fa∨Ga⇔Ga エDf.⇔
1 (カ)∀x(Fx∨Gx⇔Gx) オUI
(ⅱ)
1 (1)∀x(Fx∨Gx⇔Gx) A
1 (2) Fa∨Ga⇔Ga 1UE
1 (3) (Fa∨Ga→Ga)&
(Ga→Fa∨Ga) 2Df.⇔
1 (4) Fa∨Ga→Ga 3&E
5 (5) Fa A
5 (6) Fa∨Ga 5∨I
15 (7) Ga 46MPP
1 (8) Fa→Ga 57CP
1 (9) ∀x(Fx→Gx) 8UI
従って、
(01)により、
(02)
① ∀x(Fx→Gx)
② ∀x(Fx∨Gx⇔Gx)
に於いて、すなはち、
① すべてのxについて(xがFであるならば、xはGである)。
② すべてのxについて(xがFであるか、または、xがGであるならば、そのときに限って、xはGである)。
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)により、
(03)
F=xは一桁の、偶数である。
G=xは一桁の自然数である。
として、
①「xが一桁の偶数」ならば、 「xは一桁の自然数」である。
②「xが一桁の偶数」か、または「xが一桁の自然数」ならば、そのときに限って、「xは一桁の自然数」である。
に於いて、
①=② である。
従って、
(03)により、
(04)
① x∈{2,4,6,8}ならば、 x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}である。
② x∈{2,4,6,8}か、またはx∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}ならば、そのときに限って、x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}である。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(04)により、
(05)
「ならば」=「⊂」
「または」=「∪」
であるとして、
①{2,4,6,8}⊂{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
②{2,4,6,8}∪{1,2,3,4,5,6,7,8,9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}である。
に於いて、
①=② である。
従って、
(05)により、
(06)
Aが「集合」であって、
Bも「集合」であるとして、
① A⊂B
② A∪B=B
に於いて、
①=② である。
従って、
(06)により、
(07)
①「AがBの部分集合」であるならば、そのときに限って、
②「AとBの和集合」は、「Bそのもの」である。
従って、
(07)により、
(08)
①「偶数が、自然数の部分集合」であるならば、そのときに限って、
②「偶数と、自然数の和集合」は、「自然数そのもの」である。
従って、
(08)により、
(09)
「自然数」に、「偶数」を加へても、
「自然数の個数(濃度)」は「不変」である。
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