（1275）「空集合」は「任意の集合の部分集合」である？

（01）
（ⅰ）
１　　　　（１）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　（４）　　　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　　　（５）　　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　　　（６）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　　　（７）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
　　８　　（８）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　９∨Ｉ
　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　８ア＆Ｉ
　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　　９イＲＡＡ
　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オ∨Ｉ
　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　８カ＆Ｉ
　　８　　（ク）　　　　　　～Ｑ　　　オキＲＡＡ
　　８　　（ケ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エク＆Ｉ
１　８　　（コ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　７ケ＆Ｉ
１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　８コＲＡＡ
１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　サＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①　 Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（02）により、
（03）
①　 Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ＝ｘ∈Φ
Ｑ＝ｘ∈Ｂ
であるとして、
① 　ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① 　ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、すなはち、
① ｘが空集合Φの要素であるならば、ｘは任意の集合Ｂの要素である。
② ｘは空集合Φの要素ではないか、または、ｘは任意の集合Ｂの要素であるかの、いづれかである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
② 空集合Φは、「要素の個数がゼロである集合」であるため、
② ｘは、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」は、「真」である。
従って、
（05）により、
（06）
② ｘは、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」が、「真」であるため、
② ｘは、空集合Φの要素ではないか、または、ｘは任意の集合Ｂの要素であるかの、いづれかである。
といふ「命題」も、「真」である。
従って、
（04）（06）により、
（07）
① 　ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、すなはち、
① ｘが空集合の要素であるならば、ｘは任意の集合Ｂの要素である。
② ｘは、空集合Φの要素ではないか、または、ｘは任意の集合Ｂの要素であるかの、いづれかである。
に於いて、
①＝② であって、
② が「真」であるため、
① も「真」である。
然るに、
（08）

（ウィキペディア）

従って、
（08）により、
（09）
① ｘ∈Ａ→ｘ∈Ｂ
であるならば、すなわち、
① ｘが集合Ａの要素であるならば、ｘは集合Ｂの要素である。
であるならば、そのときに限って、
① 集合Ａは、集合Ｂの「部分集合」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
であるならば、すなわち、
① ｘが空集合Φの要素であるならば、ｘは集合Ｂの要素である。
であるならば、そのときに限って、
① 空集合Φは、集合Ｂの「部分集合」である。
従って、
（06）（10）により、
（11）
① いかなるｘであっても、空集合Φの要素ではない。
といふ「命題」が「真」であるが故に、
① 空集合Φは、任意の集合Ｂの、「部分集合」である。
といふ「命題」も「真」である。
といふ、「分けのわからない（？）」ことになる。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
「結局」は、『含意の定義』により、
① 　ｘ∈Φ→ｘ∈Ｂ
② ～ｘ∈Φ∨ｘ∈Ｂ
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② 　ｘ∈Φ
といふ「命題」が「偽」であるため、その「否定」である、
② ～ｘ∈Φ
といふ「命題」が「真」であって、尚且つ、
① ｘ∈Ａ→ｘ∈Ｂ ⇔ Ａ⊆Ｂ
といふ『定義』が有るため、
① 空集合Φは、任意の集合Ｂの、「部分集合」である。
といふことになる。