（172）「量化子の関係」について。

（01）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が「変域（ドメイン）」であるとして、
　∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝＝｛∀ｙ（Ｆａｙ）＆∀ｙ（Ｆｂｙ）＆∀ｙ（Ｆｃｙ）｝＝
　∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝＝（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）＆（Ｆｂａ＆Ｆｂｂ＆Ｆｂｃ）＆（Ｆｃａ＆Ｆｃｂ＆Ｆｃｃ）
従って、
（01）により、
（02）
～∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝＝
～｛（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）＆（Ｆｂａ＆Ｆｂｂ＆Ｆｂｃ）＆（Ｆｃａ＆Ｆｃｂ＆Ｆｃｃ）｝
～（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）∨～（Ｆｂａ＆Ｆｂｂ＆Ｆｂｃ）∨～（Ｆｃａ＆Ｆｃｂ＆Ｆｃｃ） ：ド・モルガンの法則
（～Ｆａａ∨～Ｆａｂ∨～Ｆａｃ）∨（～Ｆｂａ∨～Ｆｂｂ∨～Ｆｂｃ）∨（～Ｆｃａ∨～Ｆｃｂ∨～Ｆｃｃ）：ド・モルガンの法則
然るに、
（03）
∃ｘ｛∃ｙ（～Ｆｘｙ）｝＝
｛∃ｙ（～Ｆａｙ）∨∃ｙ（～Ｆｂｙ）∨∃ｙ（～Ｆｃｙ）｝＝
（～Ｆａａ∨～Ｆａｂ∨～Ｆａｃ）∨（～ｂａ∨～Ｆｂｂ∨～Ｆｂｃ）∨（～Ｆｃａ∨～Ｆｃｂ∨～Ｆｃｃ）
従って、
（02）（03）により
（04）
～∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝＝（～Ｆａａ∨～Ｆａｂ∨～Ｆａｃ）∨（～Ｆｂａ∨～Ｆｂｂ∨～Ｆｂｃ）∨（～Ｆｃａ∨～Ｆｃｂ∨～Ｆｃｃ）
∃ｘ｛∃ｙ（～Ｆｘｙ）｝＝（～Ｆａａ∨～Ｆａｂ∨～Ｆａｃ）∨（～Ｆｂａ∨～Ｆｂｂ∨～Ｆｂｃ）∨（～Ｆｃａ∨～Ｆｃｂ∨～Ｆｃｃ）
従って、
（04）により、
（05）
① ～∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
③ ∃ｘ｛∃ｙ（～Ｆｘｙ）｝
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
｛人間｝が「変域（ドメイン）」であるとして、
① ～∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝＝自分自身をも含めて、すべての人が、すべての人を愛してゐる。といふわけではない。
③ ∃ｘ｛∃ｙ（～愛ｘｙ）｝＝自分自身をも含めて、ある人は、ある人を、愛してゐない。
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（07）
③ ∃ｙ（～愛ｘｙ）＝（～愛ａｙ∨～愛ｂｙ∨～愛ｃｙ）
② ～∀ｙ（愛ｘｙ）＝～（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）＝（～愛ａｙ∨～愛ｂｙ∨～愛ｃｙ）：ド・モルガンの法則
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ～∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝＝自分自身をも含めて、すべての人が、すべての人を、愛してゐる。といふわけではない。
② ∃ｘ｛～∀ｙ（愛ｘｙ）｝＝自分自身をも含めて、ある人は、すべての人を愛してゐるわけではない。
③ ∃ｘ｛∃ｙ（～愛ｘｙ）｝＝自分自身をも含めて、ある人は、ある人を、愛してゐない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
１（１）～∀ｘ∀ｙＦｘｙ　Ａ
１（２）∃ｘ～∀ｙＦｘｙ　１量化子の関係
１（３）∃ｘ∃ｙ～Ｆｘｙ　２量化子の関係
といふ「述語計算」は、「正しい」。