(01)
(ⅰ)
1 (1) P∨ Q ∨R A
1 (2) (P∨ Q)∨R 1結合法則
3 (3) (P∨ Q) A
3 (4)~~(P∨ Q) 3DN
3 (5)~(~P&~Q) 4ド・モルガンの法則
3 (6)~(~P&~Q)∨R 5∨I
7 (7) R A
7 (8)~(~P&~Q)∨R 7∨I
1 (9)~(~P&~Q)∨R 13678∨E
1 (ア) (~P&~Q)→R 9含意の定義
イ(イ) (~P&~Q) A
1 イ(ウ) R アイMPP
(ⅱ)
1 (1) P∨ Q ∨R A
1 (2) (P∨ Q)∨R 1結合法則
3 (3) (P∨ Q) A
3 (4)~~(P∨ Q) 3DN
3 (5)~(~P&~Q) 4ド・モルガンの法則
3 (6)~(~P&~Q)∨R 5∨I
7 (7) R A
7 (8)~(~P&~Q)∨R 7∨I
1 (9)~(~P&~Q)∨R 13678∨E
1 (ア) (~P&~Q)→R 9含意の定義
イ(イ) ~R A
1 イ(ウ)~(~P&~Q) アイMTT
1 イ(エ) P∨ Q ウ、ド・モルガンの法則
従って、
(01)により、
(02)
①(P∨Q∨R),(~P&~Q)├ R
②(P∨Q∨R),(~R)├ (P∨Q)
といふ「推論(選言三段論法・消去法)」、すなはち、
①(Pか、Qか、Rである)。然るに、(Pではないし、Qでもない)。従って、(Rである)。
②(Pか、Qか、Rである)。然るに、(Rではない)。従って、(Pか、Qである)。
といふ「推論(選言三段論法・消去法)」は、「古典命題論理(常識)」として、「妥当」である。
従って、
(02)により、
(03)
P=犯人は佐藤である。
Q=犯人は鈴木である。
R=犯人は高橋である。
として、
①(犯人は、佐藤か、鈴木か、高橋である)。然るに、(佐藤も、鈴木も、犯人ではない)。従って、(高橋が犯人である)。
②(犯人は、佐藤か、鈴木か、高橋である)。然るに、(高橋は犯人ではない)。従って、(犯人は、佐藤か、鈴木である)。
といふ「推論(選言三段論法・消去法)」は、「妥当」である。
然るに、
(04)
①(犯人は、佐藤か、鈴木か、高橋である)。然るに、(佐藤も、鈴木も、犯人ではない)。従って、(高橋が犯人である)。
②(犯人は、佐藤か、鈴木か、高橋である)。然るに、(高橋は犯人ではない)。従って、(犯人は、佐藤か、鈴木である)。
と言ふのであれば、この場合は、
①(高橋が犯人である)。
②(高橋は犯人ではない)。
と言ふのであって、
①(高橋は犯人である)。
②(高橋が犯人ではない)。
とは、言はない。
従って、
(03)(04)により、
(05)
① 高橋が犯人である =高橋以外に、犯人はゐない。
② 高橋は犯人ではない=少なくとも、高橋は犯人ではない。
といふ、ことなる。
従って、
(05)により、
(06)
① AがBである。
といふ「日本語」は、
② AはBであり、A以外はBではない。
といふ「意味」になる。
然るに、
(07)
② A以外はBでない(Aでないならば、Bでない)。
③ BはAである(Bならば、Aである)。
に於いて、
②=③ は、「対偶」である。
従って、
(06)(07)により、
(08)
① AがBである。
② A以外はBでない。
③ BはAである。
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(03)(08)により、
(09)
① 高橋が犯人である。
② 高橋以外は犯人ではない。
③ 犯人は高橋である。
に於いて、
①=②=③ である。
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