（668）「偶数と奇数は、同じ数ではない」の「述語論理」（Ⅱ）。

―「昨日（令和０２年０６月２７日）の記事」を書き直します。―
（01）

　　　　　　　　　　　　（高校数学の美しい物語）
然るに、
（02）
『左辺（ａａ）は、２で偶数回、右辺（２ｂｂ）は、２で奇数回割り切れることになる。つまりそのような整数 ａ，ｂ は存在しない。』といふのであれば、
『ｘが偶数であり、ｙが偶数でないならば、ｘとｙは「同じ数」ではない。』といふ「命題」が、「偽」ではない。
といふことを、「証明」しなければ、ならない。
然るに、
（03）
『ｘが偶数であり、ｙが偶数でないならば、ｘとｙは「同じ数」ではない。』といふ「命題」を、「証明」しようとする高校教師は、おそらくは、多くはゐないはずである。
然るに、
（04）
公理（こうり、英: axiom）は、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。
（ウィキペディア）
従って、
（01）～（04）により、
（05）
「（01）の証明」は、事実上、
『ｘが偶数であり、ｙが偶数でないならば、ｘとｙは「同じ数」ではない。』といふ「命題」を、「公理」として、用ひてゐる。
然るに、
（06）
１　　（１）　　　　　偶ａ＆（ａ＝ｂ）　　　　　　Ａ
１　　（２）　　　　　偶ａ　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（４）　　　　　偶ｂ　　　　　　　　　　　　２３＝Ｅ
 　 　（５）　　　　　偶ａ＆（ａ＝ｂ）→偶ｂ　　　１４ＣＰ
  ６　（６）　　　　　　　　　　　　　～偶ｂ　　　Ａ
  ６　（７）　　　～［偶ａ＆（ａ＝ｂ）］　　　　　５６ＭＴＴ
  ６　（８）　　　　～偶ａ∨（ａ≠ｂ）　　　　　　７ド・モルガンの法則
  ６　（９）　　　　　偶ａ→（ａ≠ｂ）　　　　　　８含意の定義
 　　 （ア）～偶ｂ→［偶ａ→（ａ≠ｂ）］　　　　　６９ＣＰ
  　イ（イ）　偶ａ＆～偶ｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
 　 イ（ウ）～偶ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
 　 イ（エ）　　　　［偶ａ→（ａ≠ｂ）］　　　　　アウＭＰＰ
  　イ（オ）　　　　　偶ａ　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
 　 イ（カ）　　　　　　　　（ａ≠ｂ）　　　　　　エオＭＰＰ
 　　 （キ）　　　　　偶ａ＆～偶ｂ→（ａ≠ｂ）　　イカＣＰ
 　　 （ク）　　∀ｙ｛偶ａ＆～偶ｙ→（ａ≠ｙ）｝　キＵＩ
 　　 （ケ）∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆～偶ｙ→（ｘ≠ｙ）｝　クＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆～偶ｙ→（ｘ≠ｙ）｝⇔
すべてのｘとすべてのｙについて｛ｘが偶数であり、ｙが偶数でないならば、ｘとｙは、「同じ数」ではない｝。
といふ「述語論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）により、
（08）
『ｘが偶数であり、ｙが偶数でない（奇数である）ならば、ｘとｙは「同じ数」ではない。』
といふ「命題」は、「恒に真」である。
然るに、
（09）
誤謬の最も直接的な形は、次の「証明」に見られる。
　１（１）　　Ｆａ　Ａ
　１（２）∀ｘＦｘ　１ＵＩ
たとえば、Ｆ を奇数であると解釈し、数の世界において、任意に奇数、たとえば３を選ぶとしよう。その結果は Ｆａ は真となる。しかしここから、すべての数は奇数であるということ―これは偽であるが―明らかに帰結しない。（１）から（２）への進みは、制限によってはばまれる。なぜなら、（１）はそれ自身に依存し、そしてそのなかには「ａ」が現われるからである。
（E.J.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１４０頁）
然るに、
（10）
　１（１）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　　（２）　　　Ｆａ→Ｆａ　　１１ＣＰ
　　（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）　２ＵＩ
　　（４）すべてのｘについて（ｘが奇数であるならば、ｘは奇数である）。
に於いて、（２）は、「いかなる仮定にも、依存してゐない」ので、（２）が依存する「仮定」の中に、「ａ」は現れない。
従って、
（09）（10）により、
（11）
　１（２）∀ｘＦｘ　１ＵＩ
に於ける「ＵＩ」は、「ルール違反」であるが、
　　（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）　２ＵＩ
に於ける「ＵＩ」は、「ルール違反」ではない。
従って、
（06）（11）により、
（12）
 　　 （ク）　　∀ｙ｛偶ａ＆～偶ｙ→（ａ≠ｙ）｝　キＵＩ
 　　 （ケ）∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆～偶ｙ→（ｘ≠ｙ）｝　クＵＩ
に於ける「ＵＩ」も、「ルール違反」ではない。
従って、
（06）（12）により、
（13）
∀ｘ∀ｙ｛偶ｘ＆～偶ｙ→（ｘ≠ｙ）｝≡すべてのｘとすべてのｙについて｛ｘが偶数であり、ｙが偶数でないならば、ｘとｙは、「同じ数」ではない｝。
　　∀ｘ（奇ｘ→奇ｘ）≡すべてのｘについて（ｘが奇数であるならば、ｘは奇数である）。
といふ「述語論理式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。