―「昨日(令和03年06月02日)の記事」を書き直します。―
(01)
(ⅰ)
1 (1) ∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x} A
1 (2) ~∃y(名前ya)&猫a→~吾輩a 1UE
3 (3) 吾輩a A
3 (4) ~~吾輩a 3DN
13 (5) ~{~∃y(名前ya)&猫a} 24MTT
13 (6) ∃y(名前ya)∨~猫a 5ド・モルガンの法則
13 (7) ~猫a∨∃y(名前ya) 6交換法則
13 (8) 猫a→∃y(名前ya) 7含意の定義
1 (9) 吾輩a→{猫a→∃y(名前ya)} 38CP
ア(ア) 吾輩a& 猫a A
ア(イ) 吾輩a ア&E
1 ア(ウ) 猫a→∃y(名前ya) 9イMPP
ア(エ) 猫a アウMPP
1 ア(オ) ∃y(名前ya) ウエMPP
1 (カ) (吾輩a&猫a)→∃y(名前ya) アオCP
1 (キ)∀x{(吾輩x&猫x)→∃y(名前yx)} カUI
(ⅱ)
1 (1) ∀x{(吾輩x&猫x)→∃y(名前yx)} A
1 (2) (吾輩a&猫a)→∃y(名前ya) 1UE
2 (3) ~∃y(名前ya) A
12 (4) ~(吾輩a&猫a) 23MTT
12 (5) ~吾輩a∨~猫a 4ド・モルガンの法則
12 (6) ~猫a∨~吾輩a 5交換法則
12 (7) 猫a→~吾輩a 6含意の定義
1 (8) ~∃y(名前ya)→猫a→~吾輩a 27CP
9(9) ~∃y(名前ya)&猫a A
9(ア) ~∃y(名前ya) 9&E
1 9(イ) 猫a→~吾輩a 8アMPP
9(ウ) 猫a 9&E
1 9(エ) ~吾輩a イウMPP
1 (オ) ~∃y(名前ya)&猫a→~吾輩a 9エCP
1 (カ)∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x} オUI
従って、
(01)により、
(02)
① ∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x}
② ∀x{(吾輩x&猫x)→∃y(名前yx)}
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
(ⅱ)
1 (1)∀x{(吾輩x&猫x)→∃y(名前ya) A
1 (2) (吾輩a&猫a)→∃y(名前ya) 1UE
1 (3) ~(吾輩a&猫a)∨∃y(名前ya) 2含意の定義
4 (4) ~(吾輩a&猫a) A
4 (5) (~吾輩a∨~猫a) 4ド・モルガンの法則
4 (6) (~吾輩a∨~猫a)∨∃y(名前ya) 5∨I
7(7) ∃y(名前ya) A
7(8) (~吾輩a∨~猫a)∨∃y(名前ya) 6∨I
1 (9) (~吾輩a∨~猫a)∨∃y(名前ya) 34678∨E
1 (ア) ~吾輩a∨~猫a∨ ∃y(名前ya) 9結合法則
1 (イ) ~{吾輩a&猫a&~∃y(名前ya)} ア、ド・モルガンの法則
1 (ウ)∀x~{吾輩x&猫x&~∃y(名前yx)} イUI
1 (エ)~∃x{吾輩x&猫x&~∃y(名前yx)} ウ量化子の関係
(ⅲ)
1 (1)~∃x{吾輩x&猫x&~∃y(名前yx)} A
1 (2)∀x~{吾輩x&猫x&~∃y(名前yx)} 1量化子の関係
1 (3) ~{吾輩a&猫a&~∃y(名前ya)} 2UE
1 (4) ~吾輩a∨~猫a∨ ∃y(名前ya) 3ド・モルガンの法則
1 (5) (~吾輩a∨~猫a)∨∃y(名前ya) 4結合法則
6 (6) (~吾輩a∨~猫a) A
6 (7) ~(吾輩a&猫a) 6ド・モルガンの法則
6 (8) ~(吾輩a&猫a)∨∃y(名前ya) 7∨I
9(9) ∃y(名前ya) A
9(ア) ~(吾輩a&猫a)∨∃y(名前ya) 9∨I
1 (イ) ~(吾輩a&猫a)∨∃y(名前ya) 1689ア∨E
1 (ウ) (吾輩a&猫a)→∃y(名前ya) イ含意の定義
1 (エ)∀x{(吾輩x&猫x)→∃y(名前yx)} ウUI
従って、
(03)により、
(04)
② ∀x{(吾輩x&猫x)→∃y(名前yx)}
③ ~∃x{吾輩x&猫x&~∃y(名前yx)}
に於いて、
②=③ である。
従って、
(02)(04)により、
(05)
① ∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x}
② ∀x{(吾輩x&猫x)→∃y(名前yx)}
③ ~∃x{吾輩x&猫x&~∃y(名前yx)}
に於いて、
①=② であって、
②=③ である。
従って、
(05)により、
(06)
① ∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x}
② ∀x{(吾輩x&猫x)→∃y(名前yx)}
③ ~∃x{吾輩x&猫x&~∃y(名前yx)}
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(06)により、
(07)
① ∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x}
② ∀x{(吾輩x&猫x)→∃y(名前yx)}
③ ~∃x{吾輩x&猫x&~∃y(名前yx)}
に於いて、
①=② であって、
①=③ である。
然るに、
(08)
言ふまでもなく、
① ∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x}
に於いて、
①=① である。
従って、
(08)により、
(09)
① ∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x}
② ∀x{(吾輩x&猫x)→∃y(名前yx)}
③ ~∃x{吾輩x&猫x&~∃y(名前yx)}
に於いて、
①=① であって、
①=② であって、
①=③ である。
従って、
(09)により、
(10)
① すべてのxについて{xの名前である所のyが存在せずに、xが猫であるならば、xは吾輩でない}。
② すべてのxについて{xが吾輩であって、猫であるならば、xにはyといふ名前がある}。
③ あるxが{吾輩であって、猫であって、あるyがxの名前である、といふことはない}といふことはない。
に於いて、
①=① であって、
①=② であって、
①=③ である。
従って、
(10)により、
(11)
①{名前がない猫は、吾輩ではない。}
②{吾輩が猫ならば、吾輩には名前がある。}
③{吾輩は猫である。名前はない。}といふことは「嘘」である。
に於いて、
①=① であって、
①=② であって、
①=③ である。
然るに、
(12)
①=① であって、
①=② であって、
①=③ である。
といふのであれば、
(ⅰ)① である。従って、① である。
(ⅱ)① である。従って、② である。
(ⅲ)① である。従って、③ である。
といふ「連言(Sequents)」は、当然、3つとも、「妥当(Valid)」である。
従って、
(06)(11)(12)により、
(13)
①{名前がない猫は、吾輩ではない。}
②{吾輩が猫ならば、吾輩には名前がある。}
③{吾輩は猫である。名前はない。}といふことは「嘘」である。
に於いて、
①=① であって、
①=② であって、
①=③ であるが故に、
(ⅰ){名前がない猫は、吾輩ではない。}従って、{名前がない猫は、吾輩ではない。}
(ⅱ){名前がない猫は、吾輩ではない。}従って、{吾輩が猫ならば、吾輩には名前がある。}
(ⅲ){名前がない猫は、吾輩ではない。}従って、{吾輩は猫である。名前はない。}といふことは「嘘」である。
といふ「連言(Sequents)」は、当然、3つとも、「妥当(Valid)」である。
従って、
(06)(13)により、
(14)
① ∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x}
② ∀x{(吾輩x&猫x)→∃y(名前yx)}
③ ~∃x{吾輩x&猫x&~∃y(名前yx)}
に於いて、
①=① であって、
①=② であって、
①=③ であるが故に、
(ⅰ)∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x}├ ∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x}
(ⅱ)∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x}├ ∀x{(吾輩x&猫x)→∃y(名前yx)}
(ⅲ)∀x{~∃y(名前yx)&猫x→~吾輩x}├ ~∃x{吾輩x&猫x&~∃y(名前yx)}
といふ「連言(Sequents)」は、当然、3つとも、「妥当(Valid)」である。
然るに、
(15)
1.2.6 トートロジー:tautology
通常は同語反復を意味します。例えば「猫は猫である」のような表現になることを言います。長い論理式でも結果が常に真になるものはやはりトートロジーですが、この場合には恒真式(コウシンシキ):>と呼ばれます。論理法則として知られているものには、恒真式が多くあります。
科学書刊株式会社:電子版 「橋梁&都市 PROJECT: 2012」
従って、
(13)(14)(15)により、
(16)
①{名前がない猫は、吾輩ではない。}
②{吾輩が猫ならば、吾輩には名前がある。}
③{吾輩は猫である。名前はない。}といふことは「嘘」である。
に於いて、
①=① であって、
①=② であって、
①=③ であるが故に、
(ⅰ){名前がない猫は、吾輩ではない。}従って、{名前がない猫は、吾輩ではない。}
(ⅱ){名前がない猫は、吾輩ではない。}従って、{吾輩が猫ならば、吾輩には名前がある。}
(ⅲ){名前がない猫は、吾輩ではない。}従って、{吾輩は猫である。名前はない。}といふことは「嘘」である。
といふ「連言(Sequents)」は、当然、3つとも、「妥当(Valid)」であるものの、
この場合、
(17)
(ⅰ){名前がない猫は、吾輩ではない。}ならば、{名前がない猫は、吾輩ではない。}
(ⅱ){名前がない猫は、吾輩ではない。}ならば、{吾輩が猫ならば、吾輩には名前がある。}
(ⅲ){名前がない猫は、吾輩ではない。}ならば、{吾輩は猫である。名前はない。}といふことは「嘘」である。
といふ「仮言命題」は、
(ⅰ)Aならば、Aである。
(ⅱ)Aならば、Aである。
(ⅲ)Aならば、Aである。
である所の、「同義反復(トートロジー)」である。
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