（912）「吾輩は猫である」の「否定」の「述語論理」と「恒真式（トートロジー）」。

　―「昨日（令和０３年０６月０２日）の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝　　Ａ
１　　（２）　　　　～∃ｙ（名前ｙａ）＆猫ａ→～吾輩ａ　　　１ＵＥ
　３　（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　吾輩ａ　　　Ａ
　３　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　～～吾輩ａ　　　３ＤＮ
１３　（５）　　～｛～∃ｙ（名前ｙａ）＆猫ａ｝　　　　　　　２４ＭＴＴ
１３　（６）　　　　∃ｙ（名前ｙａ）∨～猫ａ　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
１３　（７）　　　　～猫ａ∨∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　　　　６交換法則
１３　（８）　　　　　猫ａ→∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　　　　７含意の定義
１　　（９）　　　　吾輩ａ→｛猫ａ→∃ｙ（名前ｙａ）｝　　　３８ＣＰ
　　ア（ア）　　　　吾輩ａ＆　猫ａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　ア（イ）　　　　吾輩ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
１　ア（ウ）　　　　　　　　　猫ａ→∃ｙ（名前ｙａ）　　　　９イＭＰＰ
　　ア（エ）　　　　　　　　　猫ａ　　　　　　　　　　　　　アウＭＰＰ
１　ア（オ）　　　　　　　　　　　　∃ｙ（名前ｙａ）　　　　ウエＭＰＰ
１　　（カ）　　　（吾輩ａ＆猫ａ）→∃ｙ（名前ｙａ）　　　　アオＣＰ
１　　（キ）∀ｘ｛（吾輩ｘ＆猫ｘ）→∃ｙ（名前ｙｘ）｝　　　カＵＩ
（ⅱ）
１　　（１）　∀ｘ｛（吾輩ｘ＆猫ｘ）→∃ｙ（名前ｙｘ）｝　Ａ
１　　（２）　　　　（吾輩ａ＆猫ａ）→∃ｙ（名前ｙａ）　　１ＵＥ
　２　（３）　　　　　　　　　　　　～∃ｙ（名前ｙａ）　　Ａ
１２　（４）　 　 ～（吾輩ａ＆猫ａ）　　　　　　　　　　　２３ＭＴＴ
１２　（５）　　　～吾輩ａ∨～猫ａ　　　　　　　　　　　　４ド・モルガンの法則
１２　（６）　　　～猫ａ∨～吾輩ａ　　　　　　　　　　　　５交換法則
１２　（７）　　　　猫ａ→～吾輩ａ　　　　　　　　　　　　６含意の定義
１　　（８）　　　～∃ｙ（名前ｙａ）→猫ａ→～吾輩ａ　　　２７ＣＰ
　　９（９）　　　～∃ｙ（名前ｙａ）＆猫ａ　　　　　　　　Ａ
　　９（ア）　　　～∃ｙ（名前ｙａ）　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
１　９（イ）　　　　　　　　　　　　　猫ａ→～吾輩ａ　　　８アＭＰＰ
　　９（ウ）　　　　　　　　　　　　　猫ａ　　　　　　　　９＆Ｅ
１　９（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　～吾輩ａ　　　イウＭＰＰ
１　　（オ）　　　～∃ｙ（名前ｙａ）＆猫ａ→～吾輩ａ　　　９エＣＰ
１　　（カ）∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝　　オＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝
② ∀ｘ｛（吾輩ｘ＆猫ｘ）→∃ｙ（名前ｙｘ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１　　（１）∀ｘ｛（吾輩ｘ＆猫ｘ）→∃ｙ（名前ｙａ）　　Ａ
１　　（２）　　　（吾輩ａ＆猫ａ）→∃ｙ（名前ｙａ）　　１ＵＥ
１　　（３）　　～（吾輩ａ＆猫ａ）∨∃ｙ（名前ｙａ）　　２含意の定義
　４　（４）　　～（吾輩ａ＆猫ａ）　　　　　　　　　　　Ａ
　４　（５）　（～吾輩ａ∨～猫ａ）　　　　　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　４　（６）　（～吾輩ａ∨～猫ａ）∨∃ｙ（名前ｙａ）　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　∃ｙ（名前ｙａ）　　Ａ
　　７（８）　（～吾輩ａ∨～猫ａ）∨∃ｙ（名前ｙａ）　　６∨Ｉ
１　　（９）　（～吾輩ａ∨～猫ａ）∨∃ｙ（名前ｙａ）　　３４６７８∨Ｅ
１　　（ア）　　～吾輩ａ∨～猫ａ∨　∃ｙ（名前ｙａ）　　９結合法則
１　　（イ）　　～｛吾輩ａ＆猫ａ＆～∃ｙ（名前ｙａ）｝　ア、ド・モルガンの法則
１　　（ウ）∀ｘ～｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝　イＵＩ
１　　（エ）～∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝　ウ量化子の関係
（ⅲ）
１　　（１）～∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝　Ａ
１　　（２）∀ｘ～｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝　１量化子の関係
１　　（３）　　～｛吾輩ａ＆猫ａ＆～∃ｙ（名前ｙａ）｝　２ＵＥ
１　　（４）　　～吾輩ａ∨～猫ａ∨　∃ｙ（名前ｙａ）　　３ド・モルガンの法則
１　　（５）　（～吾輩ａ∨～猫ａ）∨∃ｙ（名前ｙａ）　　４結合法則
　６　（６）　（～吾輩ａ∨～猫ａ）　　　　　　　　　　　Ａ
　６　（７）　　～（吾輩ａ＆猫ａ）　　　　　　　　　　　６ド・モルガンの法則
　６　（８）　　～（吾輩ａ＆猫ａ）∨∃ｙ（名前ｙａ）　　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　　　　　∃ｙ（名前ｙａ）　　Ａ
　　９（ア）　　～（吾輩ａ＆猫ａ）∨∃ｙ（名前ｙａ）　　９∨Ｉ
１　　（イ）　　～（吾輩ａ＆猫ａ）∨∃ｙ（名前ｙａ）　　１６８９ア∨Ｅ
１　　（ウ）　　　（吾輩ａ＆猫ａ）→∃ｙ（名前ｙａ）　　イ含意の定義
１　　（エ）∀ｘ｛（吾輩ｘ＆猫ｘ）→∃ｙ（名前ｙｘ）｝　ウＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
② ∀ｘ｛（吾輩ｘ＆猫ｘ）→∃ｙ（名前ｙｘ）｝
③ ～∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝
② ∀ｘ｛（吾輩ｘ＆猫ｘ）→∃ｙ（名前ｙｘ）｝
③ ～∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
に於いて、
①＝② 　　であって、
　　②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① ∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝
② ∀ｘ｛（吾輩ｘ＆猫ｘ）→∃ｙ（名前ｙｘ）｝
③ ～∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝
② ∀ｘ｛（吾輩ｘ＆猫ｘ）→∃ｙ（名前ｙｘ）｝
③ ～∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ である。
然るに、
（08）
言ふまでもなく、
① ∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝
に於いて、
①＝① である。
従って、
（08）により、
（09）
① ∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝
② ∀ｘ｛（吾輩ｘ＆猫ｘ）→∃ｙ（名前ｙｘ）｝
③ ～∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
に於いて、
①＝① であって、
①＝② であって、
①＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
① すべてのｘについて｛ｘの名前である所のｙが存在せずに、ｘが猫であるならば、ｘは吾輩でない｝。
② すべてのｘについて｛ｘが吾輩であって、猫であるならば、ｘにはｙといふ名前がある｝。
③ あるｘが｛吾輩であって、猫であって、あるｙがｘの名前である、といふことはない｝といふことはない。
に於いて、
①＝① であって、
①＝② であって、
①＝③ である。
従って、
（10）により、
（11）
①｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝
②｛吾輩が猫ならば、吾輩には名前がある。｝
③｛吾輩は猫である。名前はない。｝といふことは「嘘」である。
に於いて、
①＝① であって、
①＝② であって、
①＝③ である。
然るに、
（12）
①＝① であって、
①＝② であって、
①＝③ である。
といふのであれば、
（ⅰ）① である。従って、① である。
（ⅱ）① である。従って、② である。
（ⅲ）① である。従って、③ である。
といふ「連言（Sequents）」は、当然、３つとも、「妥当（Valid）」である。
従って、
（06）（11）（12）により、
（13）
①｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝
②｛吾輩が猫ならば、吾輩には名前がある。｝
③｛吾輩は猫である。名前はない。｝といふことは「嘘」である。
に於いて、
①＝① であって、
①＝② であって、
①＝③ であるが故に、
（ⅰ）｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝従って、｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝
（ⅱ）｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝従って、｛吾輩が猫ならば、吾輩には名前がある。｝
（ⅲ）｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝従って、｛吾輩は猫である。名前はない。｝といふことは「嘘」である。
といふ「連言（Sequents）」は、当然、３つとも、「妥当（Valid）」である。
従って、
（06）（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝
② ∀ｘ｛（吾輩ｘ＆猫ｘ）→∃ｙ（名前ｙｘ）｝
③ ～∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
に於いて、
①＝① であって、
①＝② であって、
①＝③ であるが故に、
（ⅰ）∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝├ ∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝
（ⅱ）∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝├ ∀ｘ｛（吾輩ｘ＆猫ｘ）→∃ｙ（名前ｙｘ）｝
（ⅲ）∀ｘ｛～∃ｙ（名前ｙｘ）＆猫ｘ→～吾輩ｘ｝├ ～∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
といふ「連言（Sequents）」は、当然、３つとも、「妥当（Valid）」である。
然るに、
（15）
1.2.6　トートロジー：tautology
通常は同語反復を意味します。例えば「猫は猫である」のような表現になることを言います。長い論理式でも結果が常に真になるものはやはりトートロジーですが、この場合には恒真式（コウシンシキ）：>と呼ばれます。論理法則として知られているものには、恒真式が多くあります。
科学書刊株式会社:電子版　「橋梁＆都市 PROJECT: 2012」
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
①｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝
②｛吾輩が猫ならば、吾輩には名前がある。｝
③｛吾輩は猫である。名前はない。｝といふことは「嘘」である。
に於いて、
①＝① であって、
①＝② であって、
①＝③ であるが故に、
（ⅰ）｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝従って、｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝
（ⅱ）｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝従って、｛吾輩が猫ならば、吾輩には名前がある。｝
（ⅲ）｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝従って、｛吾輩は猫である。名前はない。｝といふことは「嘘」である。
といふ「連言（Sequents）」は、当然、３つとも、「妥当（Valid）」であるものの、
この場合、
（17）
（ⅰ）｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝ならば、｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝
（ⅱ）｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝ならば、｛吾輩が猫ならば、吾輩には名前がある。｝
（ⅲ）｛名前がない猫は、吾輩ではない。｝ならば、｛吾輩は猫である。名前はない。｝といふことは「嘘」である。
といふ「仮言命題」は、
（ⅰ）Ａならば、Ａである。
（ⅱ）Ａならば、Ａである。
（ⅲ）Ａならば、Ａである。
である所の、「同義反復（トートロジー）」である。