（546）「ド・モルガンの法則」と「含意の定義」と「対偶」。

（01）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
②（Ｑであって、Ｐである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
③　Ｐならば、　Ｑでない。
に於いて、
①＝③ である。
（03）
②（Ｑであって、Ｐである。）といふことはない。
④　Ｑならば、　Ｐでない。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
④ Ｑであるならば、Ｐでない。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（05）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
②（Ｑであって、Ｐである。）といふことはない。
といふことは、
⑤  Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。
⑥  Ｑでないか、Ｐでないか、少なくとも、その一方である。
といふことである。
然るに、
（06）
⑤  Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。然るに、Ｐである。故に、Ｑでない。
⑥  Ｑでないか、Ｐでないか、少なくとも、その一方である。然るに、Ｑである。故に、Ｐでない。
といふ「推論（Disjunctive syllogism）」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
③  Ｐであるならば、Ｑでない。然るに、Ｐである。故に、Ｑでない。
④  Ｑであるならば、Ｐでない。然るに、Ｑである。故に、Ｐでない。
といふ「推論（Modus Ponendo Ponens）」も、「妥当」である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
④ Ｑであるならば、Ｐでない。
⑤ Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。
⑥ Ｑでないか、Ｐでないか、少なくとも、その一方である。
に於いて、
③＝⑤ であって、
④＝⑥ である。
従って、
（05）（08）により、
（09）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
②（Ｑであって、Ｐである。）といふことはない。
③  Ｐであるならば、Ｑでない。
④  Ｑであるならば、Ｐでない。
⑤  Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。
⑥  Ｑでないか、Ｐでないか、少なくとも、その一方である。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（09）により、
（10）
「記号」で書くと、
① ～（Ｐ＆  Ｑ）
② ～（Ｑ＆  Ｐ）
③   　Ｐ→～Ｑ
④ 　  Ｑ→～Ｐ
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ
⑥   ～Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
然るに、
（11）
① ～（Ｐ＆  Ｑ）
② ～（Ｑ＆  Ｐ）
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ
⑥   ～Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
①＝②＝⑤＝⑥ は、「ド・モルガンの法則」である。
（12）
① ～（Ｐ＆  Ｑ）
② ～（Ｑ＆  Ｐ）
③   　Ｐ→～Ｑ
④ 　  Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③＝④ は、「含意の定義」である。
（13）
③   　Ｐ→～Ｑ
④ 　  Ｑ→～Ｐ
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ
⑥   ～Ｑ∨～Ｐ
③＝④＝⑤＝⑥ も、「含意の定義」である。
（14）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
③   　Ｐ→～Ｑ
④ 　  Ｑ→～Ｐ
に於いて、
③＝④ は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（15）
（ⅰ）
１　　（１）～（Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆Ｑ）
１２　（６）　　　～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）　Ｐ→～Ｑ　　　２６ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　Ｐ→～Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　～Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　（６）　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　２６ＲＡＡ
従って、
（15）により、
（16）
① ～（Ｐ＆  Ｑ）
③   　Ｐ→～Ｑ
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（16）により、
（17）
Ｐ＝Ｑ
Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
② ～（Ｑ＆　Ｐ）
④   　Ｑ→～Ｐ
に於いて、
②＝④ である。
然るに、
（18）
（ⅲ）
１　　（１）　　　　Ｐ→～Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　～Ｑ　　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　１ＤＮ
（ⅴ）
１　　　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　　～Ｑ＆　Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　　　　～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　　　（ク）　　　　Ｐ→～Ｑ　　　ウキＣＰ
従って、
（18）により、
（19）
③   Ｐ→～Ｑ
⑤ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝⑤ である。
従って、
（15）～（19）により、
（20）
① ～（Ｐ＆  Ｑ）
② ～（Ｑ＆  Ｐ）
③   　Ｐ→～Ｑ
④ 　  Ｑ→～Ｐ
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ
⑥   ～Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
①＝③＝⑤ であって、
②＝④＝⑥ である。
然るに、
（21）
「交換法則（commutative law）」により、
① ～（Ｐ＆  Ｑ）
② ～（Ｑ＆  Ｐ）
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ
⑥   ～Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
⑤＝⑥ である。
従って、
（20）（21）により、
（22）
① ～（Ｐ＆  Ｑ）
② ～（Ｑ＆  Ｐ）
③   　Ｐ→～Ｑ
④ 　  Ｑ→～Ｐ
⑤   ～Ｐ∨～Ｑ
⑥   ～Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（01）～（22）により、
（23）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
②（Ｑであって、Ｐである。）といふことはない。
③  Ｐであるならば、Ｑでない。
④  Ｑであるならば、Ｐでない。
⑤  Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。
⑥  Ｑでないか、Ｐでないか、少なくとも、その一方である。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
といふことは、「日本語」としてだけではなく、「命題計算（Propositional calculus）」としても、「正しい」。
然るに、
（11）により、
（24）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
⑤  Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。
に於いて、
①＝⑤ は、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（25）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
⑤  Ｐでないか、Ｑでないか、少なくとも、その一方である。
といふことは、
①（Ｐが本当であって、その上、Ｑも本当である。）といふことはない。
⑤  Ｐがウソであるか、または、Ｑがウソであるか、または、ＰとＱの、両方ともウソである。
といふことである。
然るに、
（26）
①（Ｐが本当であって、その上、Ｑも本当である。）といふことはない。
⑤  Ｐがウソであるか、または、Ｑがウソであるか、または、ＰとＱの、両方ともウソである。
に於いて、
①＝⑤ であることは、「当然」である。
従って、
（27）

のやうな「ベン図」を使って説明される、「集合のド・モルガンの法則」と異なり、「命題論理としてのド・モルガンの法則」は、「極めて、当り前のこと」を、述べてゐるに、過ぎない。