(01)
論理学の「・・・あるいは・・・」は両立的選言に取り決められている。
それは論理学の体系がよりシンプルなものになるからである。とりわけ、
∨を両立的選言に決めておけば、排他的選言の方は∨と&と~によって 簡単に表現できる―(P∨Q)&~(P&Q)―。
(昭和堂刊、論理学の基礎、1994年、11頁)
従って、
(01)により、
(02)
①(P∨Q)&~(P&Q)
といふ「選言」、すなはち、
①(Pか、または、Qである)が、(Pであって、尚且つ、Qである)といふことはない。
といふ場合の「選言」を、「排他的選言」といふ。
然るに、
(03)
(ⅰ)
1 (1)(P∨Q)&~(P&Q) A
1 (2) ~(P&Q) 1&E
3 (3) P A
4 (4) Q A
34 (5) P&Q 34&I
134 (6)~(P&Q)&(P&Q) 25&I
13 (7) ~Q 46RAA
1 (8) P→~Q 37CP
1 (9)(P∨Q) 1&E
ア (ア) P A
1 ア (イ) ~Q 8アMPP
1 ア (ウ) P&~Q アイ&I
1 ア (エ)(P&~Q)∨(Q&~P) ウ∨I
オ(オ) Q A
オ(カ) ~~Q オDN
1 オ(キ) ~P 8カMTT
1 オ(ク) Q&~P オキ&I
1 オ(ケ)(P&~Q)∨(Q&~P) ク∨I
1 (コ)(P&~Q)∨(Q&~P) 1アエオケ∨E
(ⅱ)
1 (1)(P&~Q)∨(Q&~P) A
2 (2)(P&~Q) A
2 (3) P 2&E
2 (4) P∨Q 3∨I
5 (5) Q&~P A
5 (6) Q 5&E
5 (7) P∨Q 6∨I
1 (8) P∨Q 12457∨E
9(9) P& Q A
9(ア) Q 9&E
2 (イ) ~Q 2&E
2 9(ウ) ~Q&Q アイ&I
2 (エ) ~(P& Q) 9ウRAA
9(オ) P 9&E
5 (カ) ~P 5&E
59(キ) P&~P オカ&I
5 (ク) ~(P& Q) 9キRAA
1 (ケ) ~(P& Q) 12エ5ク∨E
1 (コ)(P∨Q)&~(P& Q) 8ケ&I
従って、
(03)により、
(04)
①(P∨ Q)&~(P&Q)
②(P&~Q)∨(Q&~P)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(05)
(ⅱ)
1 (1) (P&~Q)∨(Q&~P) A
2 (2) (P&~Q) A
2 (3)~(~P∨Q) 2ド・モルガンの法則
2 (4) ~(P→Q) 3含意の定義
2 (5) ~(P→Q)∨~(Q→P) 4∨I
6(6) (Q&~P) A
6(7) ~(~Q∨P) 6ド・モルガンの法則
6(8) ~(Q→P) 7含意の定義
6(9) ~(P→Q)∨~(Q→P) 8∨I
1 (ア) ~(P→Q)∨~(Q→P) 12569∨E
1 (イ)~{(P→Q)& (Q→P)} ア、ド・モルガンの法則
1 (ウ) ~(P⇔Q) イDf.⇔
(ⅲ)
1 (1) ~(P⇔Q) A
1 (2)~{(P→Q)& (Q→P)} 1Df.
1 (3) ~(P→Q)∨~(Q→P) 2ド・モルガンの法則
4 (4) ~(P→Q) A
4 (5)~(~P∨Q) 4含意の定義
4 (6) (P&~Q) 5ド・モルガンの法則
4 (7) (P&~Q)∨(Q&~P) 6∨I
8(8) ~(Q→P) A
8(9) ~(~Q∨P) 8含意の定義
8(ア) (Q&~P) 9ド・モルガンの法則
8(イ) (P&~Q)∨(Q&~P) ア∨I
1 (ウ) (P&~Q)∨(Q&~P) 1478イ∨E
従って、
(05)により、
(06)
②(P&~Q)∨(Q&~P)
③ ~(P⇔Q)
に於いて、
②=③ である。
従って、
(04)(06)により、
(07)
①(P∨ Q)&~(P&Q)
②(P&~Q)∨(Q&~P)
③ ~(P⇔Q)
に於いて、すなはち、
①(Pか、または、Qである)が、(Pであって、尚且つ、Qである)といふことはない。
②(Pであって、Qでない)か、または、(Qであって、Pではない)。
③(PとQが同時に真になること、並びに、PとQが同時に偽になること)はない。
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(01)(07)により、
(08)
④ PとQの内の、どちらか一方だけが、真である。
といふ場合の、
④ PかQ。
を、「排他的選言」といふ。
然るに、
(09)
(ⅰ)
1 (1) P∨Q A
1 (2)~~P∨Q 1DN
1 (3) ~P→Q 2含意の定義
4(4) ~P A
14(5) Q 34MPP
(ⅱ)
1 (1) (P∨Q)&~(P&Q) A
1 (2) P∨Q 1&E
1 (3)~~P∨Q 2DN
1 (4) ~P→Q 3含意の定義
5(5) ~P A
15(6) Q 45MPP
従って、
(09)により、
(10)
①(P∨Q), ~P├ Q
②(P∨Q)&~(P&Q),~P├ Q
といふ「連式」は、「両方」とも、「妥当」である。
従って、
(01)(07)~(10)により、
(11)
「Pか、または、Qであるが、Pではない。故に、Qである。」
といふ「推論(選言三段論法・消去法)」は、「両立的選言」に於いても、「排他的選言」に於いても、「両方」とも、「妥当」である。
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