(01) (a)
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA(15、ド・モルガンの法則)
7 (7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7 (9) Q&~Q 78&I
7 (ア)~(P&~Q) 29RAA
1 (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
ウ (ウ) P A
エ(エ) ~Q A
ウエ(オ) P&~Q ウエ&I
1 ウエ(カ)~(P&~Q)&
(P&~Q) イオ&I
1 ウ (キ) ~~Q エカRAA
1 ウ (ク) Q キDN
1 (ケ) P→ Q ウクCP
(b)
1 (1) P→ Q A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
12 (4) Q 13MPP
2 (5) ~Q 2&E
12 (6) Q&~Q 45&I
1 (7) ~(P&~Q) 26RAA
8 (8) ~(~P∨Q) A
9 (9) ~P A
9 (ア) ~P∨Q 9∨I
89 (イ) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 8ア&I
8 (ウ) ~~P 9イRAA
8 (エ) P ウDN
オ(オ) Q A
オ(カ) ~P∨Q オ∨I(7カ、ド・モルガンの法則)
8 オ(キ) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 8∨I
8 (ク) ~Q オキRAA
8 (ケ) P&~Q エク&I
1 8 (コ) ~(P&~Q)&
(P&~Q) 7ケ&I
1 (サ)~~(~P∨Q) 8コRAA
1 (シ) ~P∨Q サDN
従って、
(01)により、
(02)
① ~P∨ Q
② ~(P&~Q)
③ P→ Q
に於いて、
①=② は、「ド・モルガンの法則」であって、
①=③ は、「含意の定義」である。
然るに、
(03)
① ~P∨ Q
② ~(P&~Q)
③ P→ Q
といふ「論理式」は、
① ~PとQの、少なくとも、一方は「真」である。
② Pであって、 Qでない、といふことは無い。
③ Pであるならば、Qである。
といふ「日本語」に「相当」する。
従って、
(02)(03)により、
(04)
① ~PとQの、少なくとも、一方は「真」である。
② Pであって、 Qでない、といふことは無い。
③ Pであるならば、Qである。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(05)
① ~P=徳島は九州ではない。
とするならば、
① P=徳島は九州である。
である。
従って、
(04)(05)により、
(06)
① ~PとQの、少なくとも、一方は「真」である。
② Pであって、 Qでない、といふことは無い。
③ Pであるならば、Qである。
に於いて、
① ~P=徳島は九州ではない。
① P=徳島は九州である。
① Q=2は奇数である。
とするならば、
①(徳島は九州ではない)と (2は奇数である)といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②(徳島は九州であって)、 (2は奇数でない)、といふことは無い。
③(徳島が九州である)ならば(2は奇数である)。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(07)
従って、
(07)により、
(08)
言ふまでもなく、
① P=徳島は九州である。
といふ「命題」は、「偽」であって、
① ~P=徳島は九州ではない。
といふ「命題」は、「真」である。
従って、
(06)(07)(08)により、
(09)
①(徳島は九州ではない)と (2は奇数である)といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②(徳島は九州であって)、 (2は奇数でない)、といふことは無い。
③(徳島が九州である)ならば(2は奇数である)。
に於いて、
①=②=③ であって、尚且つ、
① は「真」である。
従って、
(09)により、
(10)
①(徳島は九州ではない)と (2は奇数である)といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
②(徳島は九州であって)、 (2は奇数でない)、といふことは無い。
③(徳島が九州である)ならば(2は奇数である)。
に於いて、
①=②=③ であって、尚且つ、
① は「真」であるが故に、
③(徳島が九州である)ならば(2は奇数である)。
といふ「命題」も、「真」である。
従って、
(10)により、
(11)
「換言」すると、
①(徳島は九州ではない)と (2は奇数である)といふ「命題」の、少なくとも、一方は「真」である。
③(徳島が九州である)ならば(2は奇数である)。
に於いて、
①=③ ではないとするならば、
③(徳島が九州である)ならば(2は奇数である)。
といふ「命題」が「真」である。
といふことには、ならない。
然るに、
(12)
③(徳島が九州である)ならば(2は奇数である)。
といふ「仮言命題」が「真」であるとしても、
③(徳島は九州である)。
といふ「命題(前件)」は、「偽」である。
従って、
(13)
③(徳島が九州である)ならば(2は奇数である)。
といふ「仮言命題」が「真」であるとしても、
③(徳島は九州である)。
といふ「命題(前件)」は、「偽」であるため、
③(2は奇数である)。
といふ「命題(後件)」が「真」であるとは、「限らない」。
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