(01)
(ⅰ)
1 (1) (P&Q)→R A
1 (2)~(P&Q)∨R 1含意の定義
3 (3)~(P&Q) A
3 (4)~P∨~Q 3ド・モルガンの法則
3 (5)~P∨~Q∨R 4∨I
6 (6) R A
6 (7) ~P∨~Q∨R 6∨I
1 (8) ~P∨~Q∨R 13567∨E
1 (9)~P∨(~Q∨R) 3結合法則
ア (ア)~P A
ア (イ)~P∨R ア∨I
ア (ウ) P→R イ含意の定義
ア (エ)(P→R)∨(Q→R) ウ∨I
オ(オ) (~Q∨R) A
オ(カ) Q→R オ含意の定義
オ(キ)(P→R)∨(Q→R) カ∨I
1 (ク)(P→R)∨(Q→R) 2アエオキ∨I
(ⅱ)
1 (1)(P→R)∨(Q→R) A
2 (2) P&Q A
3 (3) P→R A
2 (4) P 2&E
23 (5) R 34MPP
6(6) Q→R A
2 (7) Q 2&E
2 6(8) R 67MPP
12 (9) R 13568∨E
1 (ア)(P&Q)→R 29CP
(02)
(ⅲ)
1 (1) P&Q⇔R A
1 (2)(P&Q→R)&(R→P&Q) A
1 (3) R→P&Q 1&E
4 (4) ~P∨~Q A
4 (5) ~(P&Q) 4ド・モルガンの法則
14 (6) ~R 35MPP
1 (7) (~P∨~Q)→~R 46CP
8 (8) ~P A
8 (9) ~P∨~Q 8∨I
1 8 (ア) ~R 79MPP
1 (イ) ~P→~R 8アCP
ウ(ウ) ~Q A
ウ(エ) ~P∨~Q ウ∨I
1 ウ(オ) ~R 7エMPP
1 (カ) ~Q→~R ウオCP
1 (キ)(~P→~R)&(~Q→~R) イカ&I
従って、
(01)(02)により、
(03)
① P&Q→R ┤├ ( P→ R)∨( Q→ R)
② P&Q⇔R ├ (~P→~R)&(~Q→~R)
といふ「連式(Sequents)」は、2つとも「妥当(Valid)」である。
然るに、
(04)
①( P→ R)∨( Q→ R)
②(~P→~R)&(~Q→~R)
に於いて、
P=偽
R=真
であるならば、
① は、「真」であるが、
② は、「偽」である。
従って、
(03)(04)により、
(05)
① P&Q→R)
② P&Q⇔R
といふ「論理式」に於いて、
①=② ではない。
然るに、
(06)
P=日本人である。
Q=25歳以上である。
R=衆議院議員の被選挙権がある。
として、
① P&Q→R
② P&Q⇔R
といふ「命題論理式」は、それぞれ、
① 日本人であって、25歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。
② 日本人であって、25歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。
といふ「日本語」に、相当する。
従って、
(05)(06)により、
(07)
① 日本人であって、25歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。
② 日本人であって、25歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。
といふ「日本語」に於いて、
①=② ではない。
然るに、
(08)
②(~P→~R)&(~Q→~R)
に於いて、
P=日本人である。
Q=25歳以上である。
R=衆議院議員の被選挙権がある。
とすると、
②(~P→~R)&(~Q→~R)
③(日本人でないならば、衆議院議員の被選挙権はない。)そして(25歳以上でないならば、衆議院議員の被選挙権はない。)
に於いて、
②=③ である。
従って、
(03)~(08)により、
(09)
① P&Q→R)
② P&Q⇔R
③(~P→~R)&(~Q→~R)
に於いて、すなはち、
① 日本人であって、25歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。
② 日本人であって、25歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。
③(日本人でないならば、衆議院議員の被選挙権はない。)そして(25歳以上でないならば、衆議院議員の被選挙権はない。)
に於いて、
① ならば、③ ではないが、
② ならば、③ である。
従って、
(09)により、
(10)
(ⅰ)「日本人であって、25歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。」然るに、
(ⅱ)「日本人ではない。」従って、
(ⅲ)「衆議院議員の被選挙権はない。」
といふ「推論」は、「無効(Invalid)」であるが、
(ⅰ)「日本人であって、25歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。」然るに、
(ⅱ)「日本人ではない。」従って、
(ⅲ)「衆議院議員の被選挙権はない。」
といふ「推論」は、「妥当(Valid)」である。
従って、
(10)により、
(11)
(ⅰ)「日本人であって、25歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。」然るに、
(ⅱ)「日本人ではない。」従って、
(ⅲ)「衆議院議員の被選挙権はない。」
といふ「推論」を、「妥当」であると、思ふのであれば、その人は、
① 日本人であって、25歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。
② 日本人であって、25歳以上であるならば、そのときに限って、衆議院議員の被選挙権がある。
といふ「日本語」に於いて、
①と② を、『混同』してゐる。
といふ、ことになる。
従って、
(03)(06)(11)により、
(12)
(ⅰ)「日本人であって、25歳以上であるならば、衆議院議員の被選挙権がある。」然るに、
(ⅱ)「日本人ではない。」従って、
(ⅲ)「衆議院議員の被選挙権はない。」
といふ「推論」を、「妥当」であると、思ふのであれば、その人は、
① P&Q→R ┤├ ( P→ R)∨( Q→ R)
② P&Q⇔R ├ (~P→~R)&(~Q→~R)
といふ「連式(Sequents)」に於いて、
①と② を、『混同』してゐる。
といふ、ことになる。
従って、
(12)により、
(13)
その人は、
① P&Q→R ┤├ ( P→ R)∨( Q→ R)
といふ「連式」を、
② P&Q→R ├ (~P→~R)&(~Q→~R)
といふ「連式」であると、「勘違ひ」をしてゐる。
といふ、ことになる。
従って、
(13)により、
(14)
その人にとっては、
② P&Q→R ├ (~P→~R)&(~Q→~R)
といふ「マチガイ」の方が、「正しい」が故に、
① P&Q→R ┤├ ( P→ R)∨( Q→ R)
といふ「連式」は、「マチガイ(をかしい)」といふ、ことになる。
然るに、
(15)
①(P&Q)→R
といふ「論理式」に関して、
大西拓郎先生(京都大学)は、
[厳密含意の論理(1) [修正版](ユーチューブ:9分10秒頃)]に於いて、
PかつQ、2つの前提からRが導かれるんだったら実はそれ、1つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。実質含意にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
(13)(14)(15)により、
(16)
大西拓郎先生(京都大学)は、
① P&Q→R ┤├ ( P→ R)∨( Q→ R)
といふ「連式」を、
② P&Q→R ├ (~P→~R)&(~Q→~R)
といふ「連式」であると、「勘違ひ」をしてゐる。
といふ、ことになる。
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