日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(1275)「空集合」は「任意の集合の部分集合」である?

2023-11-01 18:43:35 | 論理

(01)
(ⅰ)
1    (1)    P→ Q   A
 2   (2)    P&~Q   A
 2   (3)    P      2&E
12   (4)       Q   13MPP
 2   (5)      ~Q   2&E
12   (6)    Q&~Q   45&I
1    (7)  ~(P&~Q)  26RAA
  8  (8) ~(~P∨ Q)  A
   9 (9)   ~P      A
   9 (ア)   ~P∨ Q   9∨I
  89 (イ) ~(~P∨ Q)&
          (~P∨ Q)  8ア&I
  8  (ウ)  ~~P      9イRAA
  8  (エ)    P      ウDN
    オ(オ)       Q   A
    オ(カ)   ~P∨ Q   オ∨I
  8 オ(キ) ~(~P∨ Q)&
          (~P∨ Q)  8カ&I
  8  (ク)      ~Q   オキRAA
  8  (ケ)    P&~Q   エク&I
1 8  (コ)  ~(P&~Q)&
           (P&~Q)  7ケ&I
1    (サ)~~(~P∨ Q)  8コRAA
1    (シ)   ~P∨ Q   サDN
(ⅱ)
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P&P    34&I
  3   (6 ~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   2&E
 2 7  (9)  Q&~Q   78&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   エカRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウクCP
従って、
(01)により、
(02)
①  P→Q
② ~P∨Q
に於いて、
①=② である(含意の定義)。
従って、
(02)により、
(03)
①  P→Q
② ~P∨Q
に於いて、
P=x∈Φ
Q=x∈B
であるとして、
①  x∈Φ→x∈B
② ~x∈Φ∨x∈B
に於いて、
①=② である。
従って、
(03)により、
(04)
①  x∈Φ→x∈B
② ~x∈Φ∨x∈B
に於いて、すなはち、
① xが空集合Φの要素であるならば、xは任意の集合Bの要素である。
② xは空集合Φの要素ではないか、または、xは任意の集合Bの要素であるかの、いづれかである。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(05)
② 空集合Φは、「要素の個数がゼロである集合」であるため、
② xは、空集合Φの要素ではない
といふ「命題」は、「真」である。
従って、
(05)により、
(06)
② xは、空集合Φの要素ではない
といふ「命題」が、「真」であるため、
② xは、空集合Φの要素ではないか、または、xは任意の集合Bの要素であるかの、いづれかである。
といふ「命題」も、「真」である。
従って、
(04)(06)により、
(07)
①  x∈Φ→x∈B
② ~x∈Φ∨x∈B
に於いて、すなはち、
① xが空集合の要素であるならば、xは任意の集合Bの要素である。
② xは、空集合Φの要素ではないか、または、xは任意の集合Bの要素であるかの、いづれかである。
に於いて、
①=② であって、
② が「真」であるため、
① も「真」である。
然るに、
(08)

(ウィキペディア)

従って、
(08)により、
(09)
① x∈A→x∈B
であるならば、すなわち、
① xが集合Aの要素であるならば、xは集合Bの要素である。
であるならば、そのときに限って、
① 集合Aは、集合Bの「部分集合」である。
従って、
(07)(08)(09)により、
(10)
① x∈Φ→x∈B
であるならば、すなわち、
① xが空集合Φの要素であるならば、xは集合Bの要素である。
であるならば、そのときに限って、
① 空集合Φは、集合Bの「部分集合」である。
従って、
(06)(10)により、
(11)
① いかなるxであっても、空集合Φの要素ではない
といふ「命題」が「真」であるが故に、
① 空集合Φは、任意の集合Bの、「部分集合」である。
といふ「命題」も「真」である。
といふ、「分けのわからない(?)」ことになる。
従って、
(01)~(11)により、
(12)
「結局」は、『含意の定義』により、
①  x∈Φ→x∈B
② ~x∈Φ∨x∈B
に於いて、
①=② であって、尚且つ、
②  x∈Φ
といふ「命題」が「」であるため、その「否定」である、
② ~x∈Φ
といふ「命題」が「」であって、尚且つ、
① x∈A→x∈B ⇔ A⊆B
といふ『定義』が有るため、
① 空集合Φは、任意の集合Bの、「部分集合」である。
といふことになる。