（01）
（ⅰ）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３（５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１ （６） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３５ＣＰ
１ （７）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ６ＵＩ
１３（８） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１ （９） 象ａ→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３８ＣＰ
１ （ア） ∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ９ＵＩ
１ （イ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ７ア＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１）象は鼻は長い。象は鼻以外は長くない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １
１ （２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（ 鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ １＆Ｅ
１ （３）∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １＆Ｅ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（ 鼻ｙａ＆ 長ｙ）｝ ２ＵＥ
１ （５） 象ａ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ３ＵＥ
６（６） 象ａ Ａ
１６（７） ∃ｙ（ 鼻ｙａ＆ 長ｙ） ４６ＭＰＰ
１６（８） ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） ５６ＭＰＰ
１６（９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８＆Ｉ
１ （ア） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ アＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長い。象は鼻以外は長くない。
に於いて、すなはち、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い。すべてのｘについて、ｘが象であるならば、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）鼻が長くない。ならば、象ではなく、
（ⅱ）鼻以外が長い。ならば、象ではなく、
（ⅲ）その両方であれば、 象ではない。
然るに、
（04）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）馬の鼻は長くない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝ Ａ
３ （３）ある馬は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（馬ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは馬であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 馬ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） Ａ
６ （６） 馬ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 馬ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ９＆Ｅ
イ （イ） 鼻ｙａ＆ 長ｂ Ａ
イ （ウ） 長ｂ イ＆Ｅ
２ ６ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） ５７ＭＰＰ
オ（オ） 鼻ｂａ＆～長ｂ Ａ
オ（カ） ～長ｂ オ＆Ｅ
イオ（キ） 長ｂ＆～長ｂ ウカ＆Ｉ
２ ６イ （ク） 長ｂ＆～長ｂ エオキＥＥ
１２ ６ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ アイクＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（馬ｘ＆象ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（馬ｘ＆象ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（馬ａ＆象ａ） サＵＥ
１２ （ス） ～馬ａ∨～象ａ シ、ド・モルガンの法則
１２ （セ） 馬ａ→～象ａ ス含意の定義
１２ （ソ）∀ｘ（馬ｘ→～象ｘ） セＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが馬であるならば、ｘは象ではない。 セＵＩ
１２ （〃）馬は象ではない。 セＵＩ
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。然るに、馬の鼻は長くない。故に、馬は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。
然るに、
（06）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
エ （ウ） 長ｂ Ａ
エ （エ） ～～長ｂ エＤＮ
１ ６エ （オ） ～～鼻ｂａ ウオＭＴＴ
１ ６エ （カ） 鼻ｂａ カＤＮ
１ ６ （キ） 長ｂ→ 鼻ｂａ エキＣＰ
２ ６ （ク） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
２ ６ （ケ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ケ＆Ｅ
コ（コ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
コ（サ） 耳ｂａ コ＆Ｅ
コ（シ） 長ｂ コ＆Ｅ
１ ６ コ（ス） 鼻ｂａ キシＭＰＰ
２ ６ （セ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ク＆Ｅ
２ ６ （ソ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ セＵＥ
１２ ６ コ（タ） ～鼻ｂａ サソＭＰＰ
１２ ６ コ（チ） 鼻ｂａ＆～鼻ｂａ スタ＆Ｉ
１２ ６ （ツ） 鼻ｂａ＆～鼻ｂａ ケコＥＥ
１２３ （テ） 鼻ｂａ＆～鼻ｂａ ３６ツＥＥ
１２ （ト）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３テＲＡＡ
１２ （ナ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ト量化子の関係
１２ （ニ） ～（兎ａ＆象ａ） ナＵＥ
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ、ド・モルガンの法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ネＵＩ
従って、
（03）（06）により、
（07）
② 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。