(01)
(ⅰ)
1 (1)(P∨R∨S)→Q A
2 (2) P A
2 (3) P∨R 2∨I
2 (4) P∨R∨S 3∨I
12 (5) Q 14MPP
1 (6) P→Q 25CP
7 (7) R A
7 (8) P∨R 7∨I
7 (9) P∨R∨Q 8∨I
1 7 (ア) Q 19MPP
1 (イ) R→Q 7アCP
ウ(ウ) S A
ウ(エ) R∨S ウ∨I
ウ(オ) P∨R∨S エ∨I
1 ウ(カ) Q 1オMPP
1 (キ) S→Q ウカCP
1 (ク)(P→Q)&(R→Q) 6イ&I
1 (ケ)(P→Q)&(R→Q)&(S→Q) キク&I
(ⅱ)
1 (1)(P→Q)&(R→Q)&(S→Q) A
2 (2)(P∨R∨S) A
2 (3)(P∨R)∨S 2結合法則
4 (4) P∨R A
5 (5) P A
1 (6) P→Q 1&E
1 5 (7) Q 56MPP
8 (8) R A
1 (9) R→Q 1&E
1 8 (ア) Q 89MPP
1 4 (ウ) Q 4578ア∨E
エ(エ) S A
1 (オ) S→Q 1&E
1 エ(カ) Q エオMPP
12 (キ) Q 34ウエカ∨E
1 (ク)(P∨R∨S)→Q 2キCP
(ⅲ)
1(1)(P→Q)&(R→Q)&(S→Q) A
1(2)(P→Q)&(R→Q) 1&E
1(3)(P→Q) 2&E
従って、
(01)により、
(02)
①(P∨R∨S)→Q
②(P→Q)&(R→Q)&(S→Q)
③(P→Q)
に於いて、すなはち、
①(Pであるか、または、Rであるか、または、Sである)ならば、Qである。
②(Pであるならば、Qであって)、(Rであるならば、Qであって)、(Sであるならば、Qである)。
③(Pであるならば、Qである)。
に於いて、
① ⇔ ② であって、
② → ③ であるが、
③ ← ② であるとは、「限らない」。
然るに、
(03)
(ⅳ)
1 (1)(P→Q)&(~P→~Q) 2ア&I
1 (2)(P→Q) 1&E
1 (3) (~P→~Q) 1&E
4 (4) Q A
5(5) ~P A
1 5(6) ~Q 35MPP
145(7) Q&~Q 46&I
14 (8) ~~P 57CP
14 (9) P 8DN
1 (ア) Q→P 49CP
1 (イ)(P→Q)& (Q→P) 2ア&I
(ⅴ)
1 (1)(P→Q)& (Q→P) A
1 (2)(P→Q) 1&E
1 (3) (Q→P) 1&E
4 (4) ~P A
5(5) Q A
1 5(6) P 35MPP
145(7) ~P&P 46&I
14 (8) ~Q 57RAA
1 (9) ~P→~Q 48CP
1 (ア)(P→Q)&(~P→~Q) 2ア&I
従って、
(03)により、
(04)
④(P→Q)&(~P→~Q)
⑤(P→Q)&( Q→ P)
に於いて、すなはち、
④(Pであるならば、Qである)が、(Pでないならば、Qでない)。
⑤(Pであるならば、Qであって)、(Qであるならば、Pである)。
に於いて、
④ ⇔ ⑤ である。
従って、
(02)(04)により、
(05)
「Pならば、Qである(順)」が「真」であるとしても、
「Qならば、Pである(逆)」が「真」であるとは、「限らない」。
といふことは、
「Pならば、Qである(順)」が「真」であるとしても、
「Pが、Qの原因である」とは「限らない」。
といふことに、「等しい」。
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