算法少女の解答

算法少女の問題で、解答　R:r=13:4 を導く方法です。



とりあえずの解答です。「最大」というあたりの論議は後日にお知らせします。


また、三角形PABで、図のようにPA>PB とします。
角PBAの大きさをxとします。

三角形APBの内接円の半径をrとします。

　半円の中心をOとします。OからPAにひいた垂線と弦PAの交点
をM，また半円Oとの交点をNとします。するとMはPAの中点。
OMとPBは平行です。

MNの中点をO'とし，O'M=sを半径とする円O'はPAと半円Oに接します。
なぜなら，O'MはPAと垂直であるから，円O'はPAに接します。
また，中心距離 OO'=ON-O'N=R-s ですから，円O'は半円Oに内接します。

これが題意の最大の円です。（最大についての議は後日）



R=1としておきます。あとでR倍すればいいのですから。

このような準備で，角PBA=x とします。

PA=AB*sin x=2sin x
PB=AB*cos x=2cos x

ここで三角形PABの面積を２通りに考えます。

三角形PAB=1/2*PA*PB
=2*sin x*cos x

三角形PAB=r/2*(PA+PB+AB)
=r/2*(2sin x+2cos x+2)
=r*(sin x+cos x+1)

したがって，2*sin x*cos x=r(sin x+cos x+1) ・・・(1)

ここで三角形MAOで，AMとPBが平行であるので，角MOA=xですから
MO=cos x=1-2s　

ここで，s=rという条件より
r=(1-cos x)/2・・・・・(2)

(1)(2)から次の三角関数の方程式ができます。

2*sin x*cos x={(1-cos x)/2}*(sin x+cos x+1)

4*sin x*cos x=(1-cos x){(1+cos x)+sin x}

4*sin x*cos x={1-(cos x)^2}+(1-cos x)*sin x

4*sin x*cos x=(sin x)^2+(1-cos x)*sin x

sin xは0でないことを考慮すると

4*cos x=sin x+1-cos x

5*cos x-sin x-1=0

sin x=sqr(1-(cos x)^2)より

cos x=t とおいて，

5t-sqr(1-t^2)-1

5t-1=sqr(1-t^2)

両辺を２乗して変形すると

26t^2-10t=0

tは0でないので，t=5/13

(1)に代入して，r=4/13

ここで，図をR倍したときのrをrと置き換えると

r=(4/13)*R

したがって R:r=13:4です。

　　　　　　以上です。

三角関数を用いないで解くことができます。後日紹介。