伝説の良問２

====1981年 同志社大 法学部====================================

1から12までの整数を6個ずつA組、B組の２組に分け、A組の数を
a1, a2, a3, a4, a5, a6とし、B組の数をb1, b2, b3, b4, b5, b6 とする。

b1, b2, b3, b4, b5, b6 のうちa1 より小さいものの個数をm1 とする。
同様に a2, a3, a4, a5, a6 より小さいものの個数をそれぞれ
m2, m3, m4, m5, m6 とするとき、
(a1+a2+a3+a4+a5+a6) －(m1+m2+m3+m4+m5+m6)
は A組、B組の２組に分ける分け方に関係せず一定であることを示せ。

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　本の解説には、具体例で考えよとあった。添字をkとしよう。（k=1, 2, 3, 4, 5, 6）
　a1, a2, a3, a4, a5, a6 =1, 4, 6, 8, 9, 12 とすれば
b1, b2, b3, b4, b5, b6 =2, 3. 5, 7, 10, 11 　であるから、
　m1,m2,m3,m4,m5,m6= 0, 2, 3, 4, 4, 6

ここで
　(a1+a2+a3+a4+a5+a6) －(m1+m2+m3+m4+m5+m6)
=(a1-m1)+(a2-m2)+(a3-m3)+(a4-m4)+(a5-m5)+(a6-m6)

であることに注意して ak-mk を求めると

ak-mk= 1, 2, 3, 4, 5, 6

となるではないか！

　そこで例えば、a5=9　を見てみよう。
１からa5=9までの数は１から９の９個。
このうちA組にはa1,a2,a3,a4,a5 すなわち1, 4, 6, 8, 9
の５個の数が属するがなぜ５個かというとa5の添字が５であるからだ。
（初めて解説を読んだときは、なかなか気づかなかった）

９個の数のうちの残りがB組に属し、９－５＝４個　あるが、
a5=9 ９個の数のうち最大の数であるから、４個のB組の数はすべて
a5より小さいことになる。実際、2,3,5,7の４個である。
したがって、m5=4 が成り立つ。
　　m5=4 が分からなかった。
　　なぜかというと、「a5=9 で、a5は９個の数のうち最大の数である。
　　４個のB組の数はすべてa5より小さいことになる。」この事実を
　　見落としていた。

　この例をもとに解答を書いてみる。
　見落として分からなかったことが分かったので、自分の頭で考えることが
でき、自分なりの答案ができた。

つづく