こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、１９８６年ＡＩＭＥの整数問題です。
問題は、
「数列 １，３，４，９，１０，１２，１３，・・・は、３のべき乗（非負整数乗）と、相異なる３のべき乗の和で表わせる整数を小さい順に並べたものである。この数列の１００番目の項はいくつか。ただし、１番目の項は １、２番目の項は ３、・・・などと数えるものとする。」
です。
ｎ個の３のべき乗の数
で表わすことができる数列の項数Ｔ（ｎ）は、
で、これは二項定理
に ｘ＝１を代入することにより、
から
です。
ここで、
から、１、３、９、２７、８１、２４３ で表わせる数列の項数は６３個です。
したがって、数列の６３番目の項の値は、
１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＝３６４
になり、これは２４３×３＝７２９より小さいので、７２９は１番目から６３番目までの項には使われておらず、少なくとも６４番目から値が１０９３（＝１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９）になる項（１２７番目の項）まで連続して使われることになります。
また、
から、１、３、９、２７、８１、２４３、７２９ で表わせる数列の項数は１２７個です。
したがって、数列の１２７番目の項の値は、
１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＝１０９３
になり、これは７２９×３＝２１８９より小さいので、２１８７は１番目から１２７番目までの項には使われません。
以上から数列の１００番目の項は、１、３、９、２７、８１、２４３のなかのいくつかの数と７２９との和になります。
このとき７２９と、１、３、９、２７、８１で表わせる数列の項数は、
です。
したがって、数列の９５番目（＝６３＋３２）の項の値は、
１＋３＋９＋２７＋８１＋７２９＝８５０
で、９６番目の項は７２９＋２４３＝９７２になります。
ここまでで、数列の９６番目の項が判ったので、あとは一つずつ勘定していくと、
９６番目 ： ７２９＋２４３ ＝９７２
９７番目 ： ７２９＋２４３＋１ ＝９７３
９８番目 ： ７２９＋２４３＋３ ＝９７５
９９番目 ： ７２９＋２４３＋１＋３＝９７６
１００番目 ： ７２９＋２４３＋９ ＝９８１
になり、したがって数列の１００番目の項は ９８１ で、これが答えです。
地道に項数を数え上げればＯＫです。
今回は、１９８６年ＡＩＭＥの整数問題です。
問題は、
「数列 １，３，４，９，１０，１２，１３，・・・は、３のべき乗（非負整数乗）と、相異なる３のべき乗の和で表わせる整数を小さい順に並べたものである。この数列の１００番目の項はいくつか。ただし、１番目の項は １、２番目の項は ３、・・・などと数えるものとする。」
です。
ｎ個の３のべき乗の数
で表わすことができる数列の項数Ｔ（ｎ）は、
で、これは二項定理
に ｘ＝１を代入することにより、
から
です。
ここで、
から、１、３、９、２７、８１、２４３ で表わせる数列の項数は６３個です。
したがって、数列の６３番目の項の値は、
１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＝３６４
になり、これは２４３×３＝７２９より小さいので、７２９は１番目から６３番目までの項には使われておらず、少なくとも６４番目から値が１０９３（＝１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９）になる項（１２７番目の項）まで連続して使われることになります。
また、
から、１、３、９、２７、８１、２４３、７２９ で表わせる数列の項数は１２７個です。
したがって、数列の１２７番目の項の値は、
１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＝１０９３
になり、これは７２９×３＝２１８９より小さいので、２１８７は１番目から１２７番目までの項には使われません。
以上から数列の１００番目の項は、１、３、９、２７、８１、２４３のなかのいくつかの数と７２９との和になります。
このとき７２９と、１、３、９、２７、８１で表わせる数列の項数は、
です。
したがって、数列の９５番目（＝６３＋３２）の項の値は、
１＋３＋９＋２７＋８１＋７２９＝８５０
で、９６番目の項は７２９＋２４３＝９７２になります。
ここまでで、数列の９６番目の項が判ったので、あとは一つずつ勘定していくと、
９６番目 ： ７２９＋２４３ ＝９７２
９７番目 ： ７２９＋２４３＋１ ＝９７３
９８番目 ： ７２９＋２４３＋３ ＝９７５
９９番目 ： ７２９＋２４３＋１＋３＝９７６
１００番目 ： ７２９＋２４３＋９ ＝９８１
になり、したがって数列の１００番目の項は ９８１ で、これが答えです。
地道に項数を数え上げればＯＫです。