組合せの問題（９）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１７年ＡＩＭＥの組合せの問題です。

問題は、
「２０１７より小さい正の整数 ｎ について、
　　
を整数とする ｎ の個数を求めよ。」
です。


とすると、右辺の １＋ｎ は整数なので、Ａが整数になるためには、

が整数でなければなりません。

ここでＢの右辺を通分すると、

になり、このとき分母は６の倍数であり、さらに分子の

は６の倍数なので、

も６の倍数でなければなりません。

そこで、
ｎ＝６ｋ
とすると、ｋは、
１≦ｋ≦３３６　　　　　（★）
の整数で、これをＢの右辺に代入すると、

になります。

このとき右辺の

は整数なので、

が整数でなければならず、したがって、ｋ、または、ｋ＋１ が５の倍数でなければなりません。

ここから、ｋ が５の倍数の場合と ｋ＋１ が５の倍数の場合で場合分けして調べましょう。

● ｋ が５の倍数の場合
ｋ＝５ｓ
とすると、（★）から
１≦５ｓ≦３３６ → ０．２≦ｓ≦６７．２
で、したがって、ｓ は、１≦ｓ≦６７ の整数になり、これを満たす ｎ の個数は６７個です。

● ｋ＋１ が５の倍数の場合
ｋ＋１＝５ｔ → ｋ＝５ｔ－１
とすると、（★）から
１≦５ｔ－１≦３３６ → ０．４≦ｔ≦６７．４
で、したがって、ｔ は、１≦ｔ≦６７ の整数になり、これを満たす ｎ の個数は６７個です。

以上から、Ａを整数とする ｎ の個数は、６７＋６７＝ １３４（個）で、これが答えです。


簡単な問題です。