中学生でも手が届く東大入試問題（３８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１０年度東大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「ｘｙｚ空間に３点

をとる。△ＡＢＣを１つの面とし、ｚ≧０の部分に含まれる正四面体ＡＢＣＤをとる。さらに△ＡＢＤを１つの面とし、点Ｃと異なる点Ｅをもう１つの頂点とする正四面体ＡＢＤＥをとる。
（１）点Ｅの座標を求めよ。
（２）正四面体ＡＢＤＥのｙ≦０の部分の体積を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

正四面体は４つの面がすべて正三角形で、図１のように、その１辺の長さを２とすると、各面の高さは

で、１つの頂点からその対面に垂線を下ろしその足をＧとすると、Ｇは対面の重心（内心、外心、垂心）になり、垂線の長さ（高さ）は

になります。（長さについては三平方の定理で簡単に計算できます）

▲図１．正四面体（辺の長さ２）の特徴です

以上の正四面体の特徴を念頭に進めていきましょう。

正四面体ＡＢＣＤはｚ≧０の部分にあるので、問題の図は図２のようになります。

▲図２．問題の図を描きました

このとき、ＡＢ＝２から正四面体ＡＢＣＤの１辺の長さは２で、Ｄは正三角形ＡＢＣの重心Ｇの真上（ｚ＞０）にあり、その座標は

です。

次に図３のように、ｙｚ平面を観察しましょう。

▲図３．ｙｚ平面を観察します

ＣおよびＥから正三角形ＤＡＢに垂線を下ろすとその足は、正三角形ＤＡＢの重心Ｈになり、Ｃ、Ｈ、Ｅは同一直線上の点で、ＣＨ＝ＨＥが成り立ちます。

また、Ｈは線分ＯＤを１：２に内分する点なので、その座標は

です。

ここで、Ｈ、Ｅからｙ軸に垂線を下ろしその足をそれぞれＰ、Ｑとすると、△ＣＨＰ∽△ＣＥＱでその相似比は２なので、ＣＰ：ＣＱ＝１：２、

から

です。

すると、

から、Ｅのｙ座標は

です。

さらに、ＨＰ：ＥＱ＝１：２、

から

で、Ｅのｚ座標は

です。

したがって、Ｅの座標は

で、これが（１）の答えです。

続いて（２）です。

図４に示す三角錐Ｅ－ＲＡＢの体積を求めることになります。

▲図４．三角錐Ｅ－ＲＡＢの体積を求めます

三角錐Ｅ－ＲＡＢの体積は、底面を△ＲＡＢとすると高さがＥのｙ座標の絶対値になるので、△ＲＡＢの面積、つまり、Ｒのｚ座標を計算すれば簡単に求めることができます。

そこで図５のように、ｙｚ平面を調べましょう。

▲図５．Ｒのｚ座標を計算します

ｙ軸に平行でＥを通る直線とｚ軸との交点をＳ、Ｄから直線ＥＳに下ろした垂線の足をＴとすると、△ＥＲＳ∽△ＥＤＴなので、ＥＳ：ＲＳ＝ＥＴ：ＤＴが成り立ち、

から

です。

すると、

から、Ｒのｚ座標は

で、△ＲＡＢの面積は

になります。

したがって、三角錐Ｅ－ＲＡＢの体積は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。