こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２０１１年灘高入試に出題された場合の数の問題を取り上げます。
問題は、
「０段目から始まる階段があり、Ａ君は最初にこの階段の０段目にいる。Ａ君はサイコロ１個を１回投げるごとに、１の目が出ればこの階段を１段上がり、２か３のいずれかの目が出れば２段上がり、４、５、６のいずれかの目が出れば１段下がるものとする。ただし、０段目にいるときに４、５、６のいずれかの目が出た場合には、そのまま０段目に留まるものとする。
（１） Ａ君がサイコロ１個を３回投げたのち、４段目にいるとする。このとき、考えられる３回のサイコロの目の出方は［ ］通りである。
（２） Ａ君がサイコロ１個を３回投げたのち、２段目にいるとする。このとき、考えられる３回のサイコロの目の出方は［ ］通りである。
（３） Ａ君がサイコロ１個を４回投げたのち、３段目にいるとする。このとき、考えられる４回のサイコロの目の出方は何通りあるか。」
です。
１回目と２回目のサイコロの目と、サイコロを２回投げた後にＡ君がいる階段の段の関係を表１に示しました。
▲表１．１回目と２回目のサイコロの目と、サイコロを２回投げた後にＡ君がいる階段の段の関係です
さらに表１を基にして、３回目のサイコロの目と、サイコロを３回投げた後にＡ君がいる階段の段の関係を表２に示します。
▲表２．３回目のサイコロの目と、サイコロを３回投げた後にＡ君がいる階段の段の関係です。
それでは、（１）から始めましょう。
Ａ君が３回サイコロを投げたのち、４段目にいるのは、
① ２回目後に２段目にいて、３回目のサイコロの目が２または３の場合
② ２回目後に３段目にいて、３回目のサイコロの目が１の場合
です。
２回目後に２段目、３段目にいる場合の１回目と２回目の目の出方は、それぞれ７通りと４通りなので、
①の場合は、７×２＝１４通り
②の場合は、４×１＝ ４通り
です。
したがって、Ａ君がサイコロ１個を３回投げたのち、４段目にいるとき、考えられる３回のサイコロの目の出方は １４＋４＝１８通り で、これが答えです。
次に（２）です。
（１）と同じように勘定しましょう。
Ａ君が３回サイコロを投げたのち、２段目にいるのは、
③ ２回目後に０段目にいて、３回目のサイコロの目が２または３の場合
④ ２回目後に１段目にいて、３回目のサイコロの目が１の場合
⑤ ２回目後に３段目にいて、３回目のサイコロの目が４、５、６の場合
です。
２回目後に０段目、１段目、３段目にいる場合の１回目と２回目の目の出方は、それぞれ１２通り、９通り、４通りなので、
③の場合は、１２×２＝２４通り
④の場合は、 ９×１＝ ９通り
⑤の場合は、 ４×３＝１２通り
です。
したがって、Ａ君がサイコロ１個を３回投げたのち、２段目にいるとき、考えられる３回のサイコロの目の出方は ２４＋９＋１２＝４５通り で、これが答えです。
最後の（３）です。
表２を基にして、４回目のサイコロの目と、サイコロを４回投げた後にＡ君がいる階段の段の関係を表３に示します。
▲表３．４回目のサイコロの目と、サイコロを４回投げた後にＡ君がいる階段の段の関係です
Ａ君が４回サイコロを投げたのち、３段目にいるのは、
⑥ ３回目後に１段目にいて、４回目のサイコロの目が２または３の場合
⑦ ３回目後に２段目にいて、４回目のサイコロの目が１の場合
⑧ ３回目後に４段目にいて、４回目のサイコロの目が４、５、６の場合
です。
３回目後に１段目、２段目、４段目にいる場合の１、２、３回目の目の出方は、それぞれ３３（＝１２＋２１）通り、４５（＝２４＋９＋１２）通り、１８（＝１４＋４）通りなので、
⑥の場合は、３３×２＝６６通り
⑦の場合は、４５×１＝４５通り
⑧の場合は、１８×３＝５４通り
です。
したがって、
したがって、Ａ君がサイコロ１個を４回投げたのち、３段目にいるとき、考えられる４回のサイコロの目の出方は ６６＋４５＋５４＝１６５通り で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、２０１１年灘高入試に出題された場合の数の問題を取り上げます。
問題は、
「０段目から始まる階段があり、Ａ君は最初にこの階段の０段目にいる。Ａ君はサイコロ１個を１回投げるごとに、１の目が出ればこの階段を１段上がり、２か３のいずれかの目が出れば２段上がり、４、５、６のいずれかの目が出れば１段下がるものとする。ただし、０段目にいるときに４、５、６のいずれかの目が出た場合には、そのまま０段目に留まるものとする。
（１） Ａ君がサイコロ１個を３回投げたのち、４段目にいるとする。このとき、考えられる３回のサイコロの目の出方は［ ］通りである。
（２） Ａ君がサイコロ１個を３回投げたのち、２段目にいるとする。このとき、考えられる３回のサイコロの目の出方は［ ］通りである。
（３） Ａ君がサイコロ１個を４回投げたのち、３段目にいるとする。このとき、考えられる４回のサイコロの目の出方は何通りあるか。」
です。
１回目と２回目のサイコロの目と、サイコロを２回投げた後にＡ君がいる階段の段の関係を表１に示しました。
▲表１．１回目と２回目のサイコロの目と、サイコロを２回投げた後にＡ君がいる階段の段の関係です
さらに表１を基にして、３回目のサイコロの目と、サイコロを３回投げた後にＡ君がいる階段の段の関係を表２に示します。
▲表２．３回目のサイコロの目と、サイコロを３回投げた後にＡ君がいる階段の段の関係です。
それでは、（１）から始めましょう。
Ａ君が３回サイコロを投げたのち、４段目にいるのは、
① ２回目後に２段目にいて、３回目のサイコロの目が２または３の場合
② ２回目後に３段目にいて、３回目のサイコロの目が１の場合
です。
２回目後に２段目、３段目にいる場合の１回目と２回目の目の出方は、それぞれ７通りと４通りなので、
①の場合は、７×２＝１４通り
②の場合は、４×１＝ ４通り
です。
したがって、Ａ君がサイコロ１個を３回投げたのち、４段目にいるとき、考えられる３回のサイコロの目の出方は １４＋４＝１８通り で、これが答えです。
次に（２）です。
（１）と同じように勘定しましょう。
Ａ君が３回サイコロを投げたのち、２段目にいるのは、
③ ２回目後に０段目にいて、３回目のサイコロの目が２または３の場合
④ ２回目後に１段目にいて、３回目のサイコロの目が１の場合
⑤ ２回目後に３段目にいて、３回目のサイコロの目が４、５、６の場合
です。
２回目後に０段目、１段目、３段目にいる場合の１回目と２回目の目の出方は、それぞれ１２通り、９通り、４通りなので、
③の場合は、１２×２＝２４通り
④の場合は、 ９×１＝ ９通り
⑤の場合は、 ４×３＝１２通り
です。
したがって、Ａ君がサイコロ１個を３回投げたのち、２段目にいるとき、考えられる３回のサイコロの目の出方は ２４＋９＋１２＝４５通り で、これが答えです。
最後の（３）です。
表２を基にして、４回目のサイコロの目と、サイコロを４回投げた後にＡ君がいる階段の段の関係を表３に示します。
▲表３．４回目のサイコロの目と、サイコロを４回投げた後にＡ君がいる階段の段の関係です
Ａ君が４回サイコロを投げたのち、３段目にいるのは、
⑥ ３回目後に１段目にいて、４回目のサイコロの目が２または３の場合
⑦ ３回目後に２段目にいて、４回目のサイコロの目が１の場合
⑧ ３回目後に４段目にいて、４回目のサイコロの目が４、５、６の場合
です。
３回目後に１段目、２段目、４段目にいる場合の１、２、３回目の目の出方は、それぞれ３３（＝１２＋２１）通り、４５（＝２４＋９＋１２）通り、１８（＝１４＋４）通りなので、
⑥の場合は、３３×２＝６６通り
⑦の場合は、４５×１＝４５通り
⑧の場合は、１８×３＝５４通り
です。
したがって、
したがって、Ａ君がサイコロ１個を４回投げたのち、３段目にいるとき、考えられる４回のサイコロの目の出方は ６６＋４５＋５４＝１６５通り で、これが答えです。
簡単な問題です。