(01)
(ⅰ)
1 (1) P& Q A
2 (2) ~P∨~Q A
3 (3) ~P A
1 (4) P 1&E
1 3 (5) ~P&P 34&I
3 (6) ~(P& Q) 13RAA
7(7) ~Q A
1 (8) Q 1&E
1 7(9) ~Q&Q 78&I
7(ア) ~(P& Q) 19RAA
2 (イ) ~(P& Q) 2367ア∨E
12 (ウ) (P& Q)&
~(P& Q) 1イ&I
1 (エ)~(~P∨~Q) 2ウRAA
(ⅱ)
1 (1) ~(~P∨~Q) A
2 (2) ~P A
2 (3) ~P∨~Q 2∨I
1 2 (4) ~(~P∨~Q)&
(~P∨~Q) 13&I
1 (5) ~~P 24RAA
1 (6) P 5DN
7(7) ~Q A
7(8) ~P∨~Q 7∨I
1 7(9) ~(~P∨~Q)&
(~P∨~Q) 18&I
1 (ア) ~~Q 79RAA
1 (イ) Q アDN
1 (ウ) P& Q 6イ&I
(02)
(ⅲ)
1 (1) P& Q& R A
2 (2) ~P∨ ~Q∨~R A
2 (3) ~P∨(~Q∨~R) 2結合法則
4 (4) ~P A
1 (5) P 1&E
1 4 (6) ~P&P 45&I
4 (7)~( P& Q& R) 16RAA
8 (8) (~Q∨~R) A
9 (9) ~Q A
1 (ア) Q 1&E
1 9 (イ) ~Q&Q 9ア&I
9 (ウ)~( P& Q &R) 19RAA
エ(エ) ~R A
1 (オ) R 1&E
1 エ(カ) ~R&R エオ&I
エ(キ)~( P& Q& R) 1カRAA
8 (ク)~( P& Q& R) 89ウエキ∨E
2 (ケ)~( P& Q& R) 3478ク∨E
12 (コ) ( P& Q& R)&
~( P& Q& R) 1ケ&I
1 (サ)~(~P∨~Q∨~R) 2コRAA
(ⅳ)
1 (1) ~(~P∨~Q∨~R) A
2 (2) ~P A
2 (3) ~P∨~Q 2∨I
2 (4) ~P∨~Q∨~R 3∨I
1 2 (5) ~(~P∨~Q∨~R)&
(~P∨~Q∨~R) 14&I
1 (6) ~~P 25RAA
1 (7) P 6DN
8 (8) ~Q A
8 (9) ~P∨~Q 7∨I
8 (ア) ~P∨~Q∨~R 8∨I
1 8 (イ) ~(~P∨~Q∨~R)&
(~P∨~Q∨~R) 1ア&I
1 (ウ) ~~Q 8RAA
1 (エ) Q ウDN
オ(オ) ~R A
オ(カ) ~Q∨~R オ∨I
オ(キ) ~P∨~Q∨~R カ∨I
1 オ(ク) ~(~P∨~Q∨~R)&
(~P∨~Q∨~R) 1オ&I
1 (ケ) ~~R オケRAA
1 (コ) R ケDN
1 (サ) P& Q 7エ&I
1 (シ) P& Q& R コサ&I
従って、
(01)(02)により、
(03)
① P& Q
② ~(~P∨~Q)
③ P& Q& R
④ ~(~P∨~Q∨~R)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
③=④ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(03)により、
(04)
⑤ ~( P& Q)
⑥ ~~(~P∨~Q)
⑦ ~( P& Q& R)
⑧ ~~(~P∨~Q∨~R)
に於いて、
⑤=⑥ である(ド・モルガンの法則)。
⑦=⑧ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(04)により、
(05)
「二重否定律」により、
⑤ ~( P& Q)
⑥ (~P∨~Q)
⑦ ~( P& Q& R)
⑧ (~P∨~Q∨~R)
に於いて、
⑤=⑥ である(ド・モルガンの法則)。
⑦=⑧ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(03)(04)(05)により、
(06)
① P& Q
② ~(~P∨~Q)
③ P& Q& R
④ ~(~P∨~Q∨~R)
⑤ ~( P& Q)
⑥ (~P∨~Q)
⑦ ~( P& Q& R)
⑧ (~P∨~Q∨~R)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
③=④ である(ド・モルガンの法則)。
⑤=⑥ である(ド・モルガンの法則)。
⑦=⑧ である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(07)
(ⅰ)
1 (1) ~(P& Q& R & S) A
1 (2)~{(P& Q& R)& S} 1結合法則
1 (3) ~(P& Q& R)∨~S 2ド・モルガンの法則
4 (4) ~(P& Q& R) A
4 (5) ~P∨~Q∨~R 4ド・モルガンの法則
4 (6) ~P∨~Q∨~R∨ ~S 5∨I
7(7) ~S A
7(8) ~P∨~Q∨~R∨ ~S 7∨I
1 (9) ~P∨~Q∨~R∨ ~S 34678∨E
(ⅱ)
1 (1) ~P∨~Q∨~R∨ ~S A
1 (2) (~P∨~Q∨~R)∨~S 1結合法則
3 (3) (~P∨~Q∨~R) A
3 (4) ~(P& Q& R) 3ド・モルガンの法則
3 (5) ~(P& Q& R)∨~S 4∨I
6(6) ~S A
6(7) ~(P& Q& R)∨~S 6∨I
1 (8) ~(P& Q& R)∨~S 23567∨E
1 (9)~{(P& Q& R)& S} 8ド・モルガンの法則
1 (ア) ~(P& Q& R & S) 9結合法則
従って、
(07)により、
(08)
① ~(P& Q& R& S)
② ~P∨~Q∨~R∨~S
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(08)により、
(09)
① ~(P& Q& R& S)
② ~P∨~Q∨~R∨~S
に於いて、
P=(象a→動物a)
Q=(象b→動物b)
R=(象c→動物c)
S=(象d→動物d)
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
① ~{(象a→動物a)& (象b→動物b)& (象c→動物c)& (象d→動物d)}
② ~(象a→動物a)∨~(象b→動物b)∨~(象c→動物c)∨~(象d→動物d)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(10)
(ⅱ)
1 (1) ~(象a→ 動物a) A
2 (2) ~(象a&~動物a) A
3 (3) 象a A
4(4) ~動物a A
34(5) 象a&~動物a 34&I
234(6) ~(象a&~動物a)&
(象a&~動物a) 25&I
23 (7) ~~動物a 46RAA
23 (8) 動物a 7DN
2 (9) 象a→ 動物a 38CP
12 (ア) ~(象a→ 動物a)&
(象a→ 動物a) 19&I
1 (イ)~~(象a&~動物a) 29RAA
1 (ウ) 象a&~動物a イDN
(ⅲ)
1 (1) 象a&~動物a A
2 (2) 象a→ 動物a A
1 (3) 象a 1&E
12 (4) 動物a 23MPP
1 (5) ~動物a 1&E
12 (6) 動物a&~動物a 45&I
1 (7) ~(象a→ 動物a) 26RAA
従って、
(10)により、
(11)
② ~(象a→ 動物a)
③ 象a&~動物a
に於いて、
②=③ である。
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
① ~{(象a→ 動物a)& (象b→ 動物b)& (象c→ 動物c)& (象d→ 動物d)}
② ~(象a→ 動物a)∨~(象b→ 動物b)∨~(象c→ 動物c)∨~(象d→ 動物d)
③ (象a&~動物a)∨ (象b&~動物b)∨ (象c&~動物c)∨ (象d&~動物d)
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(13)
{a、b、c、d}が、{変域}であるとすると、
① ~{(象a→ 動物a)& (象b→ 動物b)& (象c→ 動物c)& (象d→ 動物d)}
② ~(象a→ 動物a)∨~(象b→ 動物b)∨~(象c→ 動物c)∨~(象d→ 動物d)
③ (象a&~動物a)∨ (象b&~動物b)∨ (象c&~動物c)∨ (象d&~動物d)
といふ「論理式」は、
① ~∀x(象x→動物x)
② ∃x~(象x→動物x)
③ ∃x(象x&~動物x)
といふ「述語論理式」に、「等しい」。
cf.
1 (1)~∀x(象x→動物x) A
1 (2)∃x~(象x→動物x) 1量化子の関係
3(3) ~(象a→動物a) A
3(4) ~(~象a∨動物a) 3含意の定義
3(5) 象a&~動物a 4ド・モルガンの法則
3(6)∃x(象x&~動物x) 5EI
1 (7)∃x(象x&~動物x) 136EE
(ⅲ)
1 (1)∃x(象x&~動物x) A
2(2) 象a&~動物a A
2(3) ~(~象a∨動物a) 2ド・モルガンの法則
2(4) ~(象a→動物a) 3含意の定義
2(5)∃x~(象x→動物x) 4EI
1 (6)∃x~(象x→動物x) 125EE
従って、
(12)(13)により、
(14)
「番号」を付け直すと、
① ~∀x(象x→動物x)≡~{(象a→ 動物a)& (象b→ 動物b)& (象c→ 動物c)& (象d→ 動物d)}
② ∃x(象x&~動物x)≡ (象a&~動物a)∨ (象b&~動物b)∨ (象c&~動物c)∨ (象d&~動物d)
といふ「2つの等式」に於いて、
①=② である。
然るに、
(15)
① ~{(象a→ 動物a)&(象b→ 動物b)&(象c→ 動物c)&(象d→ 動物d)}
② (象a&~動物a)∨(象b&~動物b)∨(象c&~動物c)∨(象d&~動物d)
といふ「論理式」は、
①{(aが象ならば、aは動物であり、)尚且つ(bが象ならば、bは動物であり、)尚且つ(cが象ならば、cは動物であり、)尚且つ(bが象ならば、bは動物であり。)}といふわけではない。
② (aといふ象は動物ではない)か、(bといふ象は動物ではない)か、(cといふ象は動物ではない)か、(dといふ象は動物ではない)。
といふ「意味」である。
然るに、
(16)
{a、b、c、d}が、{変域}であるとすると、
①{(aが象ならば、aは動物であり、)尚且つ(bが象ならば、bは動物であり、)尚且つ(cが象ならば、cは動物であり、)尚且つ(bが象ならば、bは動物であり。)}といふわけではない。
② (aといふ象は動物ではない)か、(bといふ象は動物ではない)か、(cといふ象は動物ではない)か、(dといふ象は動物ではない)。
といふ「日本語」は、
①{すべての象が動物である。}といふわけではない。
② ある象は、動物ではない。
といふ「意味」である。
従って、
(14)(15)(16)により、
(17)
① ~∀x(象x→動物x)≡(すべての象が動物である。)といふわけではない。
② ∃x(象x&~動物x)≡ ある象は、動物ではない。
に於いて、
①=② である。
従って、
(17)により、
(18)
① ~~∀x(象x→動物x)≡(すべての象が動物である。)といふわけではない。ではない。
② ~∃x(象x&~動物x)≡(ある象が、動物ではない。)といふことはない。
に於いて、
①=② である。
従って、
(18)により、
(19)
「二重否定」により、
① ∀x(象x→ 動物x)≡(すべての象が動物である。)
② ~∃x(象x&~動物x)≡(ある象が、動物ではない。)といふことはない。
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)~(19)により、
(20)
(ⅰ)
1 (1) P& Q& R& S A
2 (2) ~P∨ ~Q∨ ~R∨~S A
2 (3) ~P∨ ~Q∨(~R∨~S) 2結合法則
2 (4) ~P∨[~Q∨(~R∨~S)] 3結合法則
5 (5) ~P A
1 (6) P 1&E
1 5 (7) ~P&P 56&I
5 (8) ~(P& Q& R& S) 17RAA
9 (9) [~Q∨(~R∨~S)] A
ア (ア) ~Q A
1 (イ) Q 1&E
1 ア (ウ) ~Q&Q アイ&I
ア (エ) ~(P& Q& R& S) 1ウRAA
オ (オ) (~R∨~S) A
カ (カ) ~R A
1 (キ) R 1&E
1 カ (ク) ~R&R カキ&I
カ (ケ) ~(P& Q& R& S) 19RAA
コ(コ) ~S A
1 (サ) S 1&E
1 コ(シ) ~S&S コサ&I
コ(ス) ~(P& Q& R& S) 1シRAA
オ (セ) ~(P& Q& R& S) オカケコス∨E
9 (ソ) ~(P& Q& R& S) 9アエオセ∨E
2 (タ) ~(P& Q& R& S) 4589ソ∨E
12 (チ) (P& Q& R& S)&
~(P& Q& R& S) 1タ&I
1 (ツ)~(~P∨ ~Q∨ ~R∨~S) 2チRAA
(ⅱ)
1 (1) ~(~P∨~Q∨~R∨~S) A
2 (2) ~P A
2 (3) ~P∨~Q 2∨I
2 (4) ~P∨~Q∨~R 3∨I
2 (5) ~P∨~Q∨~R∨~S 4∨I
1 2 (6) ~(~P∨~Q∨~R∨~S)&
(~P∨~Q∨~R∨~S) 15&I
1 (7) ~~P 26RAA
1 (8) P 7DN
9 (9) ~Q A
9 (ア) ~P∨~Q 9∨I
9 (イ) ~P∨~Q∨~R ア∨I
9 (ウ) ~P∨~Q∨~R∨~S イ∨I
1 9 (エ) ~(~P∨~Q∨~R∨~S)&
(~P∨~Q∨~R∨~S) 1ウ&I
1 (オ) ~~Q 9エRAA
1 (カ) Q オDN
キ (キ) ~R A
キ (ク) ~R∨~S キ∨I
キ (ケ) ~Q∨~R∨~S ク∨I
キ (コ) ~P∨~Q∨~R∨~S ケ∨I
1 キ (サ) ~(~P∨~Q∨~R∨~S)&
(~P∨~Q∨~R∨~S) 1コ&I
1 (シ) ~~R キサRAA
1 (ス) R シDN
エ(セ) ~S A
エ(ソ) ~R∨~S セ∨I
エ(タ) ~Q∨~R∨~S ソ∨I
エ(チ) ~P∨~Q∨~R∨~S タ∨I
1 エ(ツ) ~(~P∨~Q∨~R∨~S)&
(~P∨~Q∨~R∨~S) 1チ&I
1 (テ) ~~S エツRAA
1 (ト) S テDN
1 (ナ) P& Q 8カ&I
1 (ニ) P& Q &R スナ&I
1 (ヌ) P& Q &R& S トニ&I
といふ「命題計算(Propositional calculus)」が、「妥当」であるが故に、
① ∀x(象x→ 動物x)≡(すべての象は動物である。)
② ~∃x(象x&~動物x)≡(ある象が、動物ではない。)といふことはない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(20)により、
(21)
「命題計算(Propositional calculus)」が無ければ、
「述語計算(Predicate calculus)」は、成り立たない。
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