（916）「ド・モルガンの法則」と「象は動物である」の「否定」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
１　３　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１３ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
１　　　（８）　　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
１　　７（９）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２３６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　　（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　２　（２）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　２　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２∨Ｉ
１　２　（４）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　　（５）　　～～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ
１　　　（６）　　　　Ｐ　　　　　　５ＤＮ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　７（８）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　７∨Ｉ
１　　７（９）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　１８＆Ｉ
１　　　（ア）　　　　　～～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　　　　　　Ｑ　　　アＤＮ
１　　　（ウ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　６イ＆Ｉ
（02）
（ⅲ）
１　　　　　（１）　　Ｐ＆　　Ｑ＆　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　～Ｐ∨　～Ｑ∨～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（３）　～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ）　　２結合法則
　　４　　　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　４　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　（～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　　　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　９　（イ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ）　　１９ＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　　　エ（カ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１カＲＡＡ
　　　８　　（ク）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　　　　（ケ）～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　３４７８ク∨Ｅ
１２　　　　（コ）　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２コＲＡＡ
（ⅳ）
１　　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　２　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　３∨Ｉ
１　２　　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１４＆Ｉ
１　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　２５ＲＡＡ
１　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８　（８）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　８∨Ｉ
１　　８　（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１ア＆I
１　　　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ
１　　　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
１　　　オ（ク）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　１オ＆Ｉ
１　　　　（ケ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　オケＲＡＡ
１　　　　（コ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　ケＤＮ
１　　　　（サ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　コサ＆Ｉ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①　　　 Ｐ＆　Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）により、
（04）
⑤　 ～（ Ｐ＆ Ｑ）
⑥ ～～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑦ 　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ ～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
⑦＝⑧ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（04）により、
（05）
「二重否定律」により、
⑤ ～（ Ｐ＆ Ｑ）
⑥ 　（～Ｐ∨～Ｑ）
⑦ ～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ 　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
⑦＝⑧ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①　　　 Ｐ＆　Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
③ 　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑤ ～（ Ｐ＆ Ｑ）
⑥ 　（～Ｐ∨～Ｑ）
⑦ ～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
⑧ 　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
⑦＝⑧ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１　　（１）　～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　＆　Ｓ）　Ａ
１　　（２）～｛（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆　Ｓ｝　１結合法則
１　　（３）　～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）∨～Ｓ　　２ド・モルガンの法則
　４　（４）　～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　　　　Ａ
　４　（５）　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　　　　４ド・モルガンの法則
　４　（６）　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨　～Ｓ　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　～Ｓ　　Ａ
　　７（８）　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨　～Ｓ　　７∨Ｉ
１　　（９）　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨　～Ｓ　　３４６７８∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨　～Ｓ　　Ａ
１　　（２）　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨～Ｓ　　１結合法則
　３　（３）　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　　　　Ａ
　３　（４）　～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）　～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）∨～Ｓ　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　　　　　～Ｓ　　Ａ
　　６（７）　～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）∨～Ｓ　　６∨Ｉ
１　　（８）　～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）∨～Ｓ　　２３５６７∨Ｅ
１　　（９）～｛（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆　Ｓ｝　８ド・モルガンの法則
１　　（ア）　～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　＆　Ｓ）　９結合法則
従って、
（07）により、
（08）
① ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ＆　Ｓ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ＆　Ｓ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ
に於いて、
Ｐ＝（象ａ→動物ａ）
Ｑ＝（象ｂ→動物ｂ）
Ｒ＝（象ｃ→動物ｃ）
Ｓ＝（象ｄ→動物ｄ）
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～｛（象ａ→動物ａ）＆　（象ｂ→動物ｂ）＆　（象ｃ→動物ｃ）＆　（象ｄ→動物ｄ）｝
② 　～（象ａ→動物ａ）∨～（象ｂ→動物ｂ）∨～（象ｃ→動物ｃ）∨～（象ｄ→動物ｄ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１　　　（１）　～（象ａ→　動物ａ）　　Ａ
　２　　（２）　～（象ａ＆～動物ａ）　　Ａ
　　３　（３）　　　象ａ　　　　　　　　Ａ
　　　４（４）　　　　　　～動物ａ　　　Ａ
　　３４（５）　　　象ａ＆～動物ａ　　　３４＆Ｉ
　２３４（６）　～（象ａ＆～動物ａ）＆
　　　　　　　　　（象ａ＆～動物ａ）　　２５＆Ｉ
　２３　（７）　　　　　～～動物ａ　　　４６ＲＡＡ
　２３　（８）　　　　　　　動物ａ　　　７ＤＮ
　２　　（９）　　　象ａ→　動物ａ　　　３８ＣＰ
１２　　（ア）　～（象ａ→　動物ａ）＆
　　　　　　　　　（象ａ→　動物ａ）　　１９＆Ｉ
１　　　（イ）～～（象ａ＆～動物ａ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（ウ）　　　象ａ＆～動物ａ　　　イＤＮ
（ⅲ）
１　　　（１）　　　象ａ＆～動物ａ　　　Ａ
　２　　（２）　　　象ａ→　動物ａ　　　Ａ
１　　　（３）　　　象ａ　　　　　　　　１＆Ｅ
１２　　（４）　　　　　　　動物ａ　　　２３ＭＰＰ
１　　　（５）　　　　　　～動物ａ　　　１＆Ｅ
１２　　（６）　　動物ａ＆～動物ａ　　　４５＆Ｉ
１　　　（７）　～（象ａ→　動物ａ）　　２６ＲＡＡ
従って、
（10）により、
（11）
② ～（象ａ→ 動物ａ）
③ 　　象ａ＆～動物ａ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
① ～｛（象ａ→　動物ａ）＆　（象ｂ→　動物ｂ）＆　（象ｃ→　動物ｃ）＆　（象ｄ→　動物ｄ）｝
② 　～（象ａ→　動物ａ）∨～（象ｂ→　動物ｂ）∨～（象ｃ→　動物ｃ）∨～（象ｄ→　動物ｄ）
③　　 （象ａ＆～動物ａ）∨　（象ｂ＆～動物ｂ）∨　（象ｃ＆～動物ｃ）∨　（象ｄ＆～動物ｄ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（13）
｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ｝が、｛変域｝であるとすると、
① ～｛（象ａ→　動物ａ）＆　（象ｂ→　動物ｂ）＆　（象ｃ→　動物ｃ）＆　（象ｄ→　動物ｄ）｝
② 　～（象ａ→　動物ａ）∨～（象ｂ→　動物ｂ）∨～（象ｃ→　動物ｃ）∨～（象ｄ→　動物ｄ）
③　　 （象ａ＆～動物ａ）∨　（象ｂ＆～動物ｂ）∨　（象ｃ＆～動物ｃ）∨　（象ｄ＆～動物ｄ）
といふ「論理式」は、
① ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ）
③ ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
といふ「述語論理式」に、「等しい」。
ｃｆ.
１　（１）～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　Ａ
１　（２）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ）　１量化子の関係
　３（３）　　～（象ａ→動物ａ）　Ａ
　３（４）　～（～象ａ∨動物ａ）　３含意の定義
　３（５）　　　象ａ＆～動物ａ　　４ド・モルガンの法則
　３（６）∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　５ＥＩ
１　（７）∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　１３６ＥＥ
（ⅲ）
１　（１）∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　Ａ
　２（２）　　　象ａ＆～動物ａ　　Ａ
　２（３）　～（～象ａ∨動物ａ）　２ド・モルガンの法則
　２（４）　　～（象ａ→動物ａ）　３含意の定義
　２（５）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ）　１２５ＥＥ
従って、
（12）（13）により、
（14）
「番号」を付け直すと、
① ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）≡～｛（象ａ→　動物ａ）＆　（象ｂ→　動物ｂ）＆　（象ｃ→　動物ｃ）＆　（象ｄ→　動物ｄ）｝
② ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡ （象ａ＆～動物ａ）∨　（象ｂ＆～動物ｂ）∨　（象ｃ＆～動物ｃ）∨　（象ｄ＆～動物ｄ）
といふ「２つの等式」に於いて、
①＝② である。
然るに、
（15）
① ～｛（象ａ→　動物ａ）＆（象ｂ→　動物ｂ）＆（象ｃ→　動物ｃ）＆（象ｄ→　動物ｄ）｝
② 　　（象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）∨（象ｄ＆～動物ｄ）
といふ「論理式」は、
①｛（ａが象ならば、ａは動物であり、）尚且つ（ｂが象ならば、ｂは動物であり、）尚且つ（ｃが象ならば、ｃは動物であり、）尚且つ（ｂが象ならば、ｂは動物であり。）｝といふわけではない。
② （ａといふ象は動物ではない）か、（ｂといふ象は動物ではない）か、（ｃといふ象は動物ではない）か、（ｄといふ象は動物ではない）。
といふ「意味」である。
然るに、
（16）
｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ｝が、｛変域｝であるとすると、
①｛（ａが象ならば、ａは動物であり、）尚且つ（ｂが象ならば、ｂは動物であり、）尚且つ（ｃが象ならば、ｃは動物であり、）尚且つ（ｂが象ならば、ｂは動物であり。）｝といふわけではない。
② （ａといふ象は動物ではない）か、（ｂといふ象は動物ではない）か、（ｃといふ象は動物ではない）か、（ｄといふ象は動物ではない）。
といふ「日本語」は、
①｛すべての象が動物である。｝といふわけではない。
② ある象は、動物ではない。
といふ「意味」である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
① ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）≡（すべての象が動物である。）といふわけではない。
② ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡ ある象は、動物ではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（17）により、
（18）
① ～～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）≡（すべての象が動物である。）といふわけではない。ではない。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡（ある象が、動物ではない。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（18）により、
（19）
「二重否定」により、
① 　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）≡（すべての象が動物である。）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡（ある象が、動物ではない。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
（ⅰ）
１　　　　　　　（１）　　　Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ　　　Ａ
　２　　　　　　（２）　　～Ｐ∨　～Ｑ∨　～Ｒ∨～Ｓ　　　Ａ
　２　　　　　　（３）　　～Ｐ∨　～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ）　　２結合法則
　２　　　　　　（４）　　～Ｐ∨［～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ）］　３結合法則
　　５　　　　　（５）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　　（６）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　５　　　　　（７）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　　　　　５６＆Ｉ
　　５　　　　　（８）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　１７ＲＡＡ
　　　９　　　　（９）　　　　　［～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ）］　Ａ
　　　　ア　　　（ア）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　　（イ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　ア　　　（ウ）　　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　　　　アイ＆Ｉ
　　　　ア　　　（エ）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　１ウＲＡＡ
　　　　　オ　　（オ）　　　　　　　　　（～Ｒ∨～Ｓ）　　Ａ
　　　　　　カ　（カ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　Ａ
１　　　　　　　（キ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　　　１＆Ｅ
１　　　　　カ　（ク）　　　　　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　　カキ＆Ｉ
　　　　　　カ　（ケ）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　１９ＲＡＡ
　　　　　　　コ（コ）　　　　　　　　　　　　　～Ｓ　　　Ａ
１　　　　　　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　Ｓ　　　１＆Ｅ
１　　　　　　コ（シ）　　　　　　　　　　　～Ｓ＆Ｓ　　　コサ＆Ｉ
　　　　　　　コ（ス）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　１シＲＡＡ
　　　　　オ　　（セ）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　オカケコス∨Ｅ
　　　９　　　　（ソ）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　９アエオセ∨Ｅ
　２　　　　　　（タ）　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　４５８９ソ∨Ｅ
１２　　　　　　（チ）　　（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）＆
　　　　　　　　　　　　～（Ｐ＆　　Ｑ＆　　Ｒ＆　Ｓ）　　１タ＆Ｉ
１　　　　　　　（ツ）～（～Ｐ∨　～Ｑ∨　～Ｒ∨～Ｓ）　　２チＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）　　Ａ
　　２　　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　２　　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　　２∨Ｉ
　　２　　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　　　　３∨Ｉ
　　２　　　（５）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ　　　４∨Ｉ
１　２　　　（６）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）　　１５＆Ｉ
１　　　　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　　　２６ＲＡＡ
１　　　　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　　（９）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　　　９　　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　　（イ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　　　　ア∨Ｉ
　　　９　　（ウ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ　　　イ∨Ｉ
１　　９　　（エ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　　　（オ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　　　　９エＲＡＡ
１　　　　　（カ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　オＤＮ
　　　　キ　（キ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　Ａ
　　　　キ　（ク）　　　　　　　　　～Ｒ∨～Ｓ　　　キ∨Ｉ
　　　　キ　（ケ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ　　　ク∨Ｉ
　　　　キ　（コ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ　　　ケ∨Ｉ
１　　　キ　（サ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）　　１コ＆Ｉ
１　　　　　（シ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　　　　キサＲＡＡ
１　　　　　（ス）　　　　　　　　　　Ｒ　　　　　　シＤＮ
　　　　　エ（セ）　　　　　　　　　　　　～Ｓ　　　Ａ
　　　　　エ（ソ）　　　　　　　　　～Ｒ∨～Ｓ　　　セ∨Ｉ
　　　　　エ（タ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ　　　ソ∨Ｉ
　　　　　エ（チ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ　　　タ∨Ｉ
１　　　　エ（ツ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）　　１チ＆Ｉ
１　　　　　（テ）　　　　　　　　　　　～～Ｓ　　　エツＲＡＡ
１　　　　　（ト）　　　　　　　　　　　　　Ｓ　　　テＤＮ
１　　　　　（ナ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　　　８カ＆Ｉ
１　　　　　（ニ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ　　　　　　スナ＆Ｉ
１　　　　　（ヌ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　＆Ｒ＆　Ｓ　　　トニ＆Ｉ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」が、「妥当」であるが故に、
① 　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）≡（すべての象は動物である。）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡（ある象が、動物ではない。）といふことはない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（20）により、
（21）
「命題計算（Propositional calculus）」が無ければ、
「述語計算（Predicate calculus）」は、成り立たない。