（194）「象は鼻が長い」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆　Ｇｘ→　Ｆｘ）　Ａ
１　　（２）　　　Ｆａ→Ｇａ＆　Ｇａ→　Ｆａ　　１ＵＥ
１　　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　（４）　　　　　　　　　　Ｇａ→　Ｆａ　　２＆Ｅ
　５　（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　６（６）　　　　　　　　　　　　　～Ｆａ　　Ａ
１５　（７）　　　　　　　　　　　　　　Ｆａ　　４５ＭＰＰ
１５６（８）　　　　　　　　　　～Ｆａ＆Ｆａ　　６７＆Ｉ
１　６（９）　　　　　　　　　～Ｇａ　　　　　　５８ＲＡＡ
１　　（ア）　　　　　　　　　～Ｆａ→～Ｇａ　　６９ＣＰ
１　　（イ）　　　Ｆａ→Ｇａ＆～Ｆａ→～Ｇａ　　３ア＆Ｉ
１　　（ウ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆～Ｆｘ→～Ｇｘ）　イＵＩ
（ⅱ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆～Ｆｘ→～Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）　　　Ｆａ→Ｇａ＆～Ｆａ→～Ｇａ　　１ＵＥ
１　　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　（４）　　　　　　　　　～Ｆａ→～Ｇａ　　２＆Ｅ
　５　（５）　　　　　　　　　～Ｆａ　　　　　　Ａ
　　６（６）　　　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
１５　（７）　　　　　　　　　　　　　～Ｇａ　　４５ＭＰＰ
１５６（８）　　　　　　　　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　６７＆Ｉ
１　６（９）　　　　　　　　～～Ｆａ　　　　　　５８ＲＡＡ
１　６（ア）　　　　　　　　　　Ｆａ　　　　　　９ＤＮ
１　　（イ）　　　　　　　　　　Ｇａ→　Ｆａ　　６アＣＰ
１　　（ウ）　　　Ｆａ→Ｇａ＆　Ｇａ→　Ｆａ　　３イ＆Ｉ
１　　（エ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆　Ｇｘ→　Ｆｘ）　ウＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆　Ｇｘ→　Ｆｘ）
（ⅱ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆～Ｆｘ→～Ｇｘ）
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅱ）であり、
（ⅱ）ならば（ⅰ）である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆　Ｇｘ→　Ｆｘ）
（ⅱ）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ＆～Ｆｘ→～Ｇｘ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（03）におり、
（04）
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧであり、ｘがＧであるならば、ｘはＦである。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧであり、ｘがＦでないならば、ｘはＧでない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧであり、ｘがＧであるならば、ｘはＦである。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧであり、ｘがＦ以外でれあば、ｘはＧでない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（06）
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘが私であるならば、ｘは大野であり、ｘが大野であるならば、ｘは私である。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘが私であるならば、ｘは大野であり、ｘが私以外であれば、ｘは大野でない。
然るに、
（07）
（３）　未知と既知
この組み合わせは次のような場合に現われる。
　私が大野です。
これは、「大野さんはどちらですか」というような問いに対する答えとして使われる。つまり文脈において、「大野」なる人物はすでに登場していて既知である。ところが、それが実際にどの人物なのか、その帰属する先が未知である。その未知の対象を「私」と表現して、それをガで承けた。それゆえこの形は、
　大野は私です。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる（大野晋、日本語の文法を考える、1978年、３４頁）。
従って、
（06）（07）により、
（08）
（３）　既知と未知
といふこととは、無関係に、
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘが私であるならば、ｘは大野であり、ｘが大野であるならば、ｘは私である。
（〃）　　　　　　　　　　　　私は　　　　　　　　大野であり、　　大野は　　　　　　　　私です。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘが私であるならば、ｘは大野であり、ｘが私以外であれば、ｘは大野でない。
（〃）　　　　　　　　　　　　私は　　　　　　　　大野であり、　　私が　　　　　　　　大野です。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘが大野であるならば、ｘは私である。
（〃）　　　　　　　　　　　　大野は　　　　　　　　私です。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘが私以外であれば、ｘは大野でない。
（〃）　　　　　　　　　　　　私が　　　　　　　　大野です。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（10）
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘが「長」であるならば、ｘは「鼻」である。
（〃）　　　　　　　　　　　　「長」は　　　　　　　　「鼻」です。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘが「鼻」以外であれば、ｘは「長」でない。
（〃）　　　　　　　　　　　　「鼻」が　　　　　　　　「長」です。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）∀ｚ（　長ｚ→　鼻ｚ）
（〃）「長」は「鼻」です。
（ⅱ）∀ｚ（～鼻ｚ→～長ｚ）
（〃）「鼻」が「長」です。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
然るに、
（12）
〔①〕
１　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　２３ＭＰＰ
１３　（５）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１３　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４＆Ｅ
１３　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　６量化子の関係
　　８（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　Ａ
　　８（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ）　　８含意の定義
　　８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｃａ∨～長ｃ）　　９ＤＮ
　　８（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆～～長ｃ　　　ア、ドモルガンの法則
　　８（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　イＤＮ
　　８（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　ウＥＩ
１３　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　７８エＥＥ
１３　（カ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）    ５オ＆Ｉ
１　　（キ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　３カＣＰ
１　　（ク）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　キＵＩ
〔②〕
１　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　Ａ
１　　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　２３ＭＰＰ
１３　（５）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１３　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　４＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　Ａ
　　７（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（～鼻ｃａ＆　長ｃ）　　７ＤＮ
　　７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ）　　８ドモルガンの法則
　　７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　９含意の定義
　　７（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　アＥＩ
１３　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　６７イＥＥ
１３　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ウ量化子の関係
１３　（カ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　５エ＆Ｉ
１　　（キ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　３カＣＰ
１　　（ク）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　キＵＩ
従って、
（12）により、
（13）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
① ならば ② であり、
② ならば ① である。
従って、
（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
① ＝ ② である。
然るに、
（15）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、あるｚはｘの鼻でないが、ｚは長い。
といふことは、すなはち、
② 象は鼻は長く、鼻以外も長い。
といふことは、
② 象は鼻も長い。
といふ、ことである。
然るに、
（16）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆    ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
① ＝ ② であるため、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
① ＝ ② である。
従って、
（16）により、
（17）
「二重否定（ＤＮ）」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　  ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（18）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、あるｚがｘの鼻ではなく、尚且つ、ｚが長い。といふことはない。
といふことは、
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、ことである。
然るに、
（10）（11）により、
（19）
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことは、
② 象は鼻が長い。
といふ、ことである。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　 ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふことは、
② 象は鼻が長い。
といふ、ことである。
従って、
（20）により、
（21）
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理」に、翻訳される。
然るに、
（22）
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
② すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚは鼻ではない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻であるならば、ｚは長くない。
に於いて、
②＆③ は、「矛盾」しない。
然るに、
（23）
① ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）＝ある兎は象である。
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いては、
①＆②＆③ のセットは、「矛盾」する。
すなはち、
（24）
① ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）＝ある兎は象である。
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
であるならば、
④ すべて象は、鼻以外は長くないはずなのに、ある象は、鼻以外に、耳も長い。
といふことになり、「矛盾」する。
従って、
（24）により、
（25）
１　　　　（１）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　（２）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　（４）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　５　　（５）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　５　　（６）　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５ＵＩ
　２５　　（７）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　３６ＭＰＰ
　２５　　（８）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　９　（９）　　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　９　（イ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　２５　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　７＆Ｅ
　２５　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　ウＵＥ
　２５９　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　アエＭＰＰ
　　　　カ（カ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　　　　カ（キ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　カＵＥ
　２　　カ（ク）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４キＭＰＰ
　２　　カ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ク＆Ｅ
　２　　カ（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　ケＵＥ
　２５９カ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　オコＭＰＰ
　２５９カ（シ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　イサ＆Ｉ
　２５　カ（ス）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　ハクシＥＥ
１　５　カ（セ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　１２スＥＥ
　　５　カ（ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２セＲＡＡ
　　５　カ（タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ソ量化子の関係
　　５　カ（チ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タＵＥ
　　５　カ（ツ）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ、ドモルガンの法則
　　５　カ（テ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツ含意の定義
　　５　カ（ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テＵＩ
　　５　カ（〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。　　　テＵＩ
　　５　カ（〃）兎は象ではない。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テＵＩ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、「正しい」。
従って、
（21）（25）により、
（26）
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」に対する、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理」への「翻訳」は、やはり、「正しい」。
然るに、
（27）
伝統的論理学を清水滉『論理学』（1916年）で代表させよう。わたしのもっているのが四十三年の第十九冊の一冊で、なお引き続き刊行だろうから、前後かなり多くの読者をもつ論理学書と考えられる。新興の記号論理学は、沢田允茂『現代論理学入門』（1962年）を参照することにする（三上章、日本語の論理、1963年、４頁）。
といふ風に、述べてゐる、三上先生は、「象は鼻が長い（1960年）」といふ「有名な著書」の著者であって、尚且つ、ご自分では、
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」を、例へば、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理」には、翻訳されてゐない。
従って、
（28）
「象は鼻が長い・日本語の論理」の著者である、三上先生の、
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」に対する、「論理学的な分析」は、「不十分」であると、言はざるを得ない。