（409）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）├ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）

（01）
｛変域（ドメイン）｝を｛人間｝とすると、
① ある人はすべての人を愛してゐる。
② すべての人はある人を愛してゐる。
といふ「命題」は、
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　（１）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）　Ａ
　２（２）　　∀ｙ（愛ａｙ）　Ａ
　２（３）　　　　　愛ａｂ　　２ＵＥ
　２（４）　　∃ｙ（愛ａｙ）　３ＥＩ
　２（５）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）　４ＵＩ
１　（６）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）　１２５ＥＥ
（ⅱ）
１　（１）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）　Ａ
１　（２）　　∃ｙ（愛ａｙ）　１ＵＥ
　３（３）　　　　　愛ａｂ　　Ａ
　３（４）　　∀ｙ（愛ａｙ）　３ＵＩ
　３（５）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）　１３５ＥＥ
然るに、
（02）により、
（03）
（ⅰ）は「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐるし、
（ⅱ）も「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐる。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ある人はすべての人を愛してゐる。
② すべての人はある人を愛してゐる。
に於いて、
① ならば、② であるとは、限らないし、
② ならば、① であるとは、限らない。
（05）
｛変域（ドメイン）｝を｛人間｝とすると、
① ある人はすべての人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
といふ「命題」は、
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
③ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ風に、書くことが出来る。
ｃｆ.
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）と
③ ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）の「違ひ」に注意せよ。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　（１）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）　Ａ
　２（２）　　∀ｙ（愛ａｙ）　Ａ
　２（３）　　　　　愛ａｂ　　２ＵＥ
　２（４）　　∃ｘ（愛ｘｂ）　３ＥＩ
　２（５）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）　４ＵＩ
１　（６）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）　１２５ＥＥ
（ⅲ）
１　（１）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）　Ａ
１　（２）　　∃ｘ（愛ｘｂ）　１ＵＥ
　３（３）　　　　　愛ａｂ　　Ａ
　３（４）　　∀ｙ（愛ａｙ）　３ＵＩ
　３（５）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）　２３５ＥＥ
然るに、
（06）により、
（07）
（ⅰ）は「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐないが、
（ⅲ）は「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐる。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ある人はすべての人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、
① ならば、③ であるが、その一方で、
③ ならば、① であるとは、限らない。
然るに、
（09）
（ⅱ）
１　（１）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）　Ａ
１　（２）　　∃ｙ（愛ａｙ）　１ＵＥ
　３（３）　　　　　愛ａｂ　　Ａ
　３（４）　　∃ｘ（愛ｘｂ）　３ＥＩ
　３（５）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）　４ＵＩ
１　（６）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）　２３５ＥＥ
（ⅲ）
１　（１）∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）　Ａ
１　（２）　　∃ｘ（愛ｘｂ）　１ＵＥ
　３（３）　　　　　愛ａｂ　　Ａ
　３（４）　　∃ｙ（愛ａｙ）　３ＥＩ
　３（５）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）　４ＵＩ
１　（６）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）　２３５ＥＥ
然るに、
（09）により、
（10）
（ⅱ）は「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐるし、
（ⅲ）も「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に「違反」してゐる。
従って、
（01）（05）（09）（10）により、
（11）
② すべての人はある人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、
② ならば、③ であるとは、限らないし、
③ ならば、② であるとは、限らない。
従って、
（04）（08）（11）により、
（12）
① ある人はすべての人を愛してゐる。
② すべての人はある人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、いづれにせよ、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① であるとは、限らない。
といふ、ことになる。
然るに、
（13）
｛変域（ドメイン）｝を｛人間｝として、
｛人間｝＝｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝
であるとする。
（14）
（α）ａはａ（ａ自身）を愛してゐて、
（β）ａはｂを愛してゐて、
（γ）ａはｃを愛してゐる。
ならば、
（δ）ａは｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝を、すなはち、｛すべての人｝を愛してゐる。
然るに、
（15）
（δ）ａは｛ａさん、ｂさん、ｃさん｝を、すなはち、｛すべての人｝を愛してゐる。のであれば、
（ε）ある人（ａ）は｛すべての人｝を愛してゐて、尚且つ、
（〃）｛すべての人｝は、ある人（ａ）に愛されてゐる。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① ある人はすべての人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、
① ならば、③ である。
といふことは、「真（本当）」である。
然るに、
（17）
（α）ａはｂを愛してゐて、
（β）ｂはｃを愛してゐて、
（γ）ｃはａを愛してゐる。
のであれば、
（δ）｛ｂさん、ｃさん、ａさん｝＝｛すべての人｝は｛ある人｝によって、愛されてゐる。
然るに、
（18）
（α）ａはｂを愛してゐて、
（β）ｂはｃを愛してゐて、
（γ）ｃはａを愛してゐる。
としても、例へば、
（ε）ある人（ａ）は｛すべての人｝を愛してゐて、尚且つ、
（〃）｛すべての人｝は、ある人（ａ）に愛されてゐる。
といふことには、ならない。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
① ある人はすべての人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、
③ ならば、① である。とは限らない。
といふことは、「真（本当）」である。
従って、
（16）（19）により、
（20）
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① である。とは限らない。
といふことは、「真（本当）」である。
従って、
（12）（20）により、
（21）
① ある人はすべての人を愛してゐる。
② すべての人はある人を愛してゐる。
③ すべての人はある人に愛されてゐる。
に於いて、少なくとも、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① であるとは、限らない。
といふことは、「真（本当）」である。