（599）「ド・モルガンの法則」の「（命題計算による）証明」の「説明」。

（01）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
といふ「式」は、
①（Ｐであって、尚且つ、Ｑである。）といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（02）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
といふ「式」は、
② Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
①（Ｐであって、尚且つ、Ｑである。）といふことはない。
②  Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である。
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、① である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② である。
（05）
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
といふ「式」は、
③（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。）といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
④   ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「式」は、
④ Ｐではないし、Ｑでもない。
といふ「意味」である。
然るに、
（07）
③（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。）といふことはない。
④  Ｐではないし、Ｑでもない。
に於いて、
③ ならば、④ であり、
④ ならば、③ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④   ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④   ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。ものの、
これらの「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
①（Ｐであって、尚且つ、Ｑである。）といふことはない。
②  Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である。
③（Ｐであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。）といふことはない。
④  Ｐではないし、Ｑでもない。
に於いて、すなはち、
①（Ｑであって、尚且つ、Ｐである。）といふことはない。
②  Ｑでないか、または、Ｐでないか、または、その両方である。
③（Ｑであるか、または、Ｐであるか、または、その両方である。）といふことはない。
④  Ｑではないし、Ｐでもない。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふことが、「理解」出来るのであれば、その人は既に、「ド・モルガンの法則」を知ってゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④   ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふ「ド・モルガンの法則」は、「当り前」のことを、述べてゐるに、過ぎない。
のであって、そのため、わざわざ、

のやうな「ベン図」を用ひて、「説明」する「必要」は無い。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１　　（１）～（Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ∨　Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）～（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　（５）　～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ
　　６（６）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　６（７）　　Ｐ∨　Ｑ　　　６∨Ｉ
１　６（８）～（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　１７＆Ｉ
１　　（９）　　　　～Ｑ　　　６＆ＲＡＡ
１　　（ア）　～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ
（ⅳ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　８（９）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（　Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（12）により、
（13）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④   ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「命題計算」としても、「正しい」。
然るに、
（14）
（12）で示した、例へば、
（ⅰ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
といふ「計算」を「説明」すると、
（ａ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
といふ「２つの仮定」は、「矛盾」してゐるため、その「矛盾」を示すことが出来れば、「背理法（ＲＡＡ）」により、
　　　　（１）　　～（Ｐ＆　Ｑ）
　　　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）
といふ「２つの仮定」の、「どちらか一方」を、「否定」することが出来る。
（ｂ）
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
といふ「２つの仮定」は、「矛盾」してゐるため、その「矛盾」を示すことが出来れば、「背理法（ＲＡＡ）」により、
　　　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）
　　　　（３）　　　～Ｐ
といふ「２つの仮定」の、例へば、
　　　　（３）　　　～Ｐ
を「否定」することが出来る。
（ｃ）
実際に、
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
といふ「矛盾」が示せたため、「背理法（ＲＡＡ）」により、
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ
となって、次に、「二重否定（ＤＮ）」により、
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
となる。
（ｄ）
同様にして、
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
を得る。
（ｅ）
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
から、
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
を得る。
（ｅ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
から、
１２　　（オ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
といふ「矛盾」を得ることが出来た。
従って、
（ａ）（ｅ）により、
（ｆ）
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
を「否定」して、
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
となって、「二重否定（ＤＮ）」により、
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
となる。
従って、
（ａ）（ｆ）により、
（ｇ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
から、
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
を得ることになる。
従って、
（14）（ａ）により、
（15）
１２　　（オ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
といふ「計算」の他に、
１２　　（オ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
　２　　（カ）　～～（Ｐ＆　Ｑ）　　１オＲＡＡ
　２　　（キ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　カＤＮ
といふ「計算」も、「可能」である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
　２　　（カ）　～～（Ｐ＆　Ｑ）　　１オＲＡＡ
　２　　（キ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　カＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　３４＆Ｅ
　　４　（６）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　　　Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　８（８）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
１　　８（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　８（ア）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　　（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（16）により、
（17）
①   　　Ｐ＆　Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、すなはち、
①  Ｐであって、尚且つ、Ｑである。
②（Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。