（598）「命題計算」による「ド・モルガンの法則」の「拡張」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　　Ａ
　２　　　　（２）　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　Ａ（５を目指す）
　２　　　　（３）　　　（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ　　　２∨Ｉ
１２　　　　（４）　～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝＆
　　　　　　　　　　　｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　　１３＆Ｉ
１　　　　　（５）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　２４ＲＡＡ
　　６　　　（６）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　Ａ（クを目指す）
　　　７　　（７）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　　７　　（８）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　７∨Ｉ
　　６７　　（９）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　６８＆Ｉ
　　６　　　（ア）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　７９ＲＡＡ
　　６　　　（イ）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　アＤＮ
　　　　ウ　（ウ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　　ウ　（エ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　ウ∨Ｉ
　　６　ウ　（オ）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　６エ＆Ｉ
　　６　　　（カ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　　６オＲＡＡ
　　６　　　（キ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　カＤＮ
　　６　　　（ク）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　イキ＆Ｉ
１　６　　　（ケ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　５ク＆Ｉ
１　　　　　（コ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　６ケＲＡＡ
１　　　　　（サ）　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　コＤＮ（半分ゲット）
　　　　　シ（シ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　　　シ（ス）　　　（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ　　　シ∨Ｉ
１　　　　シ（セ）　～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝＆　　　　
　　　　　　　　　　　｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　　１シ＆Ｉ
１　　　　　（ソ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　シセＲＡＡ（残りもゲット）
１　　　　　（タ）　　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　　サソ＆Ｉ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ　　　Ａ（ＲＡＡで証明する）
１　　　　　（３）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　１＆Ｅ
　　４　　　（４）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　Ａ（２の選言項、左）
　　　５　　（５）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ（３の選言項、左）
　　４　　　（６）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　４５　　（７）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　５６＆Ｉ
　　　５　　（８）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　４７ＲＡＡ
　　　　９　（９）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ（３の選言項、右）
　　４　　　（ア）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　４＆Ｅ
　　４　９　（イ）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　４イＲＡＡ
１　　　　　（エ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　３５８９ウ∨Ｅ
１　４　　　（オ）　　　（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　　４エ＆Ｉ
　　４　　　（カ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝　　１オＲＡＡ
１　　　　　（キ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ
　　　　　ク（ク）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ（２の選言項、右）
１　　　　ク（ケ）　　　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　キク＆Ｉ
　　　　　ク（コ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝　　１ケＲＡＡ
　２　　　　（サ）～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝　　２４カクコ∨Ｅ
１２　　　　（シ）　｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝＆
　　　　　　　　　～｛（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ｝　　１サ＆Ｉ
１　　　　　（ス）～｛（　Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝　　２４ＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝
②　 （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１　　　　　　　（１）　　～｛Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）｝　　Ａ
　２　　　　　　（２）　～｛～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）｝　　Ａ
　　３　　　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ（６を目指す）
　　３　　　　　（４）　　　～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　　３∨Ｉ
　２３　　　　　（５）　～｛～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）｝＆　
　　　　　　　　　　　　　｛～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）｝　　２４＆Ｉ
　２　　　　　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　　　　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　６ＤＮ
　　　８　　　　（８）　　　　　　～（Ｑ∨　Ｒ）　　　Ａ（イを目指す）
　　　８　　　　（９）　　　～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　　８∨Ｉ
　２　８　　　　（ア）　～｛～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）｝＆　
　　　　　　　　　　　　　｛～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）｝　　２９＆Ｉ
　２　　　　　　（イ）　　　　　～～（Ｑ∨　Ｒ）　　　８アＤＮ
　２　　　　　　（ウ）　　　　　　　（Ｑ∨　Ｒ）　　　イＤＮ
　２　　　　　　（エ）　　　　Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）　　　７ウ＆Ｉ（１の否定をゲット）
１２　　　　　　（オ）　　～｛Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　　　　　　｛Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）｝　　１エ＆Ｉ
１　　　　　　　（カ）～～｛～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）｝　　２オＲＡＡ
１　　　　　　　（キ）　　　～Ｐ∨～（Ｑ∨　Ｒ）　　　カＤＮ（２の否定をゲット）
　　　　ク　　　（ク）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ（キの選言項、左）
　　　　ク　　　（ケ）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　ク∨Ｉ
　　　　　コ　　（コ）　　　　　　～（Ｑ∨　Ｒ）　　　Ａ（キの選言項。右）
　　　　　　サ　（サ）　　　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ（普通に、ド・モルガンを証明）
　　　　　　サ　（シ）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　サ∨Ｉ
　　　　　コサ　（ス）　　　　　　～（Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ∨　Ｒ）　　　コシ＆Ｉ
　　　　　コ　　（セ）　　　　　　　～Ｑ　　　　　　　サスＲＡＡ
　　　　　　　ソ（ソ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ
　　　　　　　ソ（タ）　　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　ソ∨Ｉ
　　　　　コ　ソ（チ）　　　　　　～（Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ∨　Ｒ）　　　コタ＆Ｉ　
　　　　　コ　　（ツ）　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　ソチＲＡＡ
　　　　　コ　　（テ）　　　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　セツ＆Ｉ（ド・モルガンを証明した）
　　　　　コ　　（ト）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　テ∨Ｉ
１　　　　　　　（ナ）　　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　キクケコト∨Ｅ
（ⅳ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）　　　Ａ（ＲＡＡで証明する）
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ（１の選言項、左）
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　～Ｑ＆～Ｒ　　　　Ａ（１の選言項、右）
　２　　　　（８）　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　　２＆Ｅ
　　　　９　（９）　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ（８の選言項、左）
　　　７　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　　　　　７＆Ｅ
　　　７９　（イ）　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　７イＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ（８の選言項、右）
　　　７　　（オ）　　　　　　　　～Ｒ　　　　７＆Ｅ
　　　７　エ（カ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　７カＲＡＡ
　２　　　　（ク）　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　８９ウエキ∨Ｅ
　２　７　　（ケ）　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　　　７ク＆Ｉ
　　　７　　（コ）～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　２ケＲＡＡ
１　　　　　（サ）～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　１３６７コ∨Ｅ
１２　　　　（ス）　｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝＆
　　　　　　　　　～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　２サ＆Ｉ
１　　　　　（セ）～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝　　２スＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
③ ～｛Ｐ＆　（Ｑ∨　Ｒ）｝
④   ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝
②　 （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
③　 ～｛Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝
④ 　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（06）
②（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
④  ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いては、
②（～Ｐ∨～Ｑ）
④　　　　（～Ｑ＆～Ｒ）
といふ風に、「括弧の位置」が「同じ」ではない。
従って、
（06）により、
（07）
②（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
④  ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
②＝④ ではない。
然るに、
（08）
④ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
の場合は、
④ ～偽∨（～Ｑ＆～Ｒ）
であれば、それだけで、「真」であるが、
②（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
の場合は、
②（～偽∨～Ｑ）＆～偽
ならば、「真」であるが、
②（～偽∨～Ｑ）＆～真
ならば、「偽」である。
従って、
（05）～（08）により、
（09）
① ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝
②　 （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
③ ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝
④ 　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝②＝③＝④ ではない。
然るに、
（10）
① ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝
②　 （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
③ ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝
④ 　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
から、「丸括弧」を除くと、
① ～｛Ｐ＆　Ｑ∨　Ｒ｝
② 　～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
③ ～｛Ｐ＆  Ｑ∨　Ｒ｝
④ 　～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
であるため、「区別」が、付かない。
従って、
（11）
① ～｛Ｐ＆　Ｑ∨　Ｒ｝
② 　～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
③ ～｛Ｐ＆  Ｑ∨　Ｒ｝
④ 　～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、いづれにせよ、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（11）により、
（12）
① ～｛Ｐ＆　Ｑ∨　Ｒ｝
② 　～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
「二重否定（ＤＮ）」により、
② ～～Ｑ＝Ｑ
である。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ～｛Ｐ＆　Ｑ∨　Ｒ｝
② 　～Ｐ∨～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～｛Ｐ＆～Ｑ∨　Ｒ｝
② 　～Ｐ∨　Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
例へば、
① ｛Ｐ＆～Ｑ∨　Ｒ｝を「否定」すると、
② ～Ｐ∨　Ｑ＆～Ｒ  といふ風に、
「肯定」は「否定」に、
「否定」は「肯定」に、
「連言」は「選言」に、
「選言」は「連言」に、「交替」する。
従って、
（05）（15）により、
（16）
「論理式の全体」を「否定」すると、
「肯定」は「否定」に、
「否定」は「肯定」に、
「連言」は「選言」に、
「選言」は「連言」に、「交替」する。
といふ「法則」を、「ド・モルガンの法則」といふのであれば、
① ～｛（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｒ｝
②　 （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
③ ～｛　Ｐ＆（　Ｑ∨　Ｒ）｝
④ 　　～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於ける、
①＝②
③＝④
といふ「等式」は、「ド・モルガンの法則」である。