（590）「象は鼻が長い」と「鼻は象が長い」の「述語論理」。

（01）
― 以前にも書いたものの、―
（ⅰ）
１　　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝　Ａ
１　　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）　　Ａ
　３　　　　（４）　　　　　　鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ　　　３＆Ｅ
　　６　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ　　　Ａ
　　６　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～長ａ　　　６ＤＮ
　３６　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ｂ＆鼻ａｂ）　　　　　　５７ＭＴＴ
　３６　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ｂ∨～鼻ａｂ　　　　　　　８ド・モルガンの法則
　　　ア　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ア　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ａ　　　　　　　　　　　　アＤＮ
　　　ア　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ａ∨～鼻ａｂ　　　　　　　イ∨Ｉ
　　　　エ　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ａｂ　　　　　　　Ａ
　　　　エ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ｂ∨～鼻ａｂ　　　　　　　エ∨Ｉ
　３６　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ｂ∨～鼻ａｂ　　　　　　　９アウエオ∨Ｅ
　３６　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～鼻ａｂ　　　　　　　カ含意の定義
　３　　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　長ａ→（～象ｂ→～鼻ａｂ）　　　　　　６キＣＰ
　　　　　ケ（ケ）　　　　　　　　　　　　　長ａ＆　～象ｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　ケ（コ）　　　　　　　　　　　　　長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　ケ＆Ｅ
　３　　　ケ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～鼻ａｂ　　　　　　　クコＭＰＰ
　　　　　ケ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　ケ＆Ｅ
　３　　　ケ（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ａｂ　　　　　　　サシＭＰＰ
　３　　　　（セ）　　　　　　　　　　　　　　長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ　　　　　　　ケスＣＰ
　３　　　　（ソ）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ）　　４セ＆Ｉ
　３　　　　（タ）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝　ソＥＩ
１　　　　　（チ）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝　２３タＥＥ
１　　　　　（ツ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝　チＵＩ
（ⅱ）
１　　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝　Ａ
１　　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ）　　Ａ
　３　　　　（４）　　　　　　鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ　　　３＆Ｅ
　　６　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　Ａ
　　６　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～鼻ａｂ　　　６ＤＮ
　３６　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　～（長ａ＆～象ｂ）　　　　　　　５７ＭＴＴ
　３６　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ∨　象ｂ　　　　　　　　８ド・モルガンの法則
　３６　　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ∨～長ａ　　　　　　　　９交換法則
　　　イ　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　イ　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ａ　　　　　　　　　　　　イＤＮ
　　　イ　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ａ∨～長ａ　　　　　　　　ウ∨Ｉ
　　　　オ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　　　　Ａ
　　　　オ　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ａ∨～長ａ　　　　　　　　オ∨Ｉ
　３６　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ａ∨～長ａ　　　　　　　　アイエオカ∨Ｅ
　３６　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～長ａ　　　　　　　　キ含意の定義
　３　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ→（～象ａ→～長ａ）　　　　６クＣＰ
　　　　　コ（コ）　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　コ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　コ＆Ｅ
　３　　　コ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～長ａ　　　　　ケサＭＰＰ
　　　　　コ（ス）　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　コ＆Ｅ
　３　　　コ（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　シスＭＰＰ
　３　　　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ　　　コセＣＰ
　３　　　　（タ）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）　　４ソ＆Ｉ
　３　　　　（チ）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝　タＥＩ
１　　　　　（ツ）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝　２３チＥＥ
１　　　　　（テ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝　ツＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙが象でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふことは、
① 鼻は象は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ「意味」である。
（04）
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝⇔
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙが象でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
といふことは、
② 鼻は象は長く、象以外の動物で、ある部分が長いならば、鼻以外の、例へば、耳が長い。
② 鼻は象は長く、象以外の動物で、ある部分が長いならば、鼻以外の、例へば、顔が長い。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
｛象、兎、馬｝を、｛変域（ドメイン）｝とすると、
① 鼻は象が長く、
② 耳は兎が長く、
③ 顔は馬が長い。
といふ「日本語」は、「正しい」。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 鼻は象が長い。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
― 昨日（令和２年２月１７日）も書いたものの、―
（ⅰ）
１　　　　（１）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆　（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝　Ａ
１　　　　（２）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆　（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝　１量化子の関係
１　　　　（３）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆　（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝　２量化子の関係
　４　　　（４）　　∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆　（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝　Ａ
　４　　　（５）　　　　～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆　（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）｝　４ＵＥ
　４　　　（６）　　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）　　５ド・モルガンの法則
　４　　　（７）　　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）→～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）　　６含意の定義
　　８　　（８）　　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　４８　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）　　４８ＭＰＰ
　４８　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　～｛～（～象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ｝　　９含意の定義
　４８　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆鼻ａｂ）＆　長ａ　　　アド・モルガンの法則
　４８　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ）　　　　イ結合法則
　４　　　（エ）　　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）→（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ）　　　　８ウＣＰ
　４　　　（オ）　　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ）　　　　エ含意の定義
　　　カ　（カ）　　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　カ　（キ）　　　～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　カ含意の定義
　　　カ　（ク）　　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　キ、ド・モルガンの法則
　　　カ　（ケ）　　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　ク結合法則
　　　カ　（コ）　　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ）　　　ケ∨Ｉ
　　　　サ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ）　　　Ａ
　　　　サ（シ）　　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ）　　　サ∨Ｉ
　４　　　（ス）　　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ）　　　オカコサシ∨Ｅ
　４　　　（セ）　　　∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ａ）｝　　スＵＩ
　４　　　（ソ）　∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝　　セＥＩ
１　　　　（タ）　∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝　　３４ソＥＥ
（ⅱ）
１　　　　（１）　∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝　　Ａ
　２　　　（２）　　　∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ａ）｝　　Ａ
　２　　　（３）　　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ｂ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ）　　　２ＵＥ
　　４　　（４）　　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　　（５）　　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　４結合法則
　　４　　（６）　　　～～｛（鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ｂ｝　　　　　　　　　　　　　　　５ＤＮ
　　４　　（７）　　　～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨　長ｂ｝　　　　　　　　　　　　　　　６ド・モルガンの法則
　　４　　（８）　　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　７含意の定義
　　４　　（９）　　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）　　８∨Ｉ
　　　ア　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆鼻ａｂ　＆長ａ）　　Ａ
　　　ア　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆鼻ａｂ）＆長ａ　　　ア結合法則
　　　ア　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　～～｛（～象ｂ＆鼻ａｂ）＆長ａ｝　　イＤＮ
　　　ア　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　～｛～（象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ｝　　ウ、ド・モルガンの法則
　　　ア　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（象ｂ＆鼻ａｂ　→～長ａ）　　エ、含意の定義
　　　ア　（キ）　　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）　　カ∨Ｉ
　２　　　（ク）　　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）　　３４９アキ∨Ｅ
　２　　　（ケ）　　　　～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆　（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）｝　ク、ド・モルガンの法則
　２　　　（コ）　　∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆　（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝　ケＵＩ
　２　　　（サ）　　～∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆　（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝　コ量化子の関係
　２　　　（シ）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆　（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝　サＵＩ
　２　　　（ス）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆　（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝　シ量化子の関係
１　　　　（セ）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆　（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ｘ）｝　１２スＥＥ
従って、
（07）により、
（08）
③ ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
④   ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
に於いて、すなはち、
③「すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。」といふわけではない。
④「あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなく、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い。」
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（09）
④「あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなくて、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い）。」
といふことは、
④（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
といふことである。
然るに、
（10）
①  鼻は象が長い。
④（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
に於いて、
① と ④ は、「矛盾」する。
従って、
（11）
①  鼻は、象が長い。
④（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
に於いて、
① の「否定」は、④ であって、
④ の「否定」は、① である。
従って、
（06）～（11）により、
（12）
① 鼻は象が長い。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立し、
③ 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔
③ ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
④   ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝⇔
④ あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなく、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い）。
といふ「等式」が、成立し、
① の「否定」は、③ であって、
③ の「否定」は、① である。
然るに、
（13）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
に於いて、
鼻⇒□
象⇒鼻
□⇒象
といふ「置換（Replacement）」を行ふと、
② ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘｙ＆鼻ｙ→長ｘ）＆（～鼻ｙ＆象ｘｙ→～長ｘ）｝
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの象であって、ｙが鼻ならば、ｘは長く、ｙが鼻ではなく、ｘがｙの象ならば、ｘは長くない。
といふ「論理式」になる。
然るに、
（14）
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの象であって、ｙが鼻ならば、ｘは長く、ｙが鼻ではなく、ｘがｙの象ならば、ｘは長くない。
といふことは、
ｘ＝象
ｙ＝鼻
といふことであって、それ故、
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの象であって、ｙが鼻ならば、象は長く、ｙが鼻ではなく、ｘがｙの象ならば、象は長くない。
といふことになる。
然るに、
（15）
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② 象は、鼻が長く、鼻以外は長くない。
と言ってゐるのであって、
② 象は長い。
② 象は長くない。
とは、言っていない。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は象は長く。象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「論理式」は、「真（本当）」であるが、
② 象は鼻が長い。⇔
② ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘｙ＆鼻ｙ→長ｘ）＆（～鼻ｙ＆象ｘｙ→～長ｘ）｝
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの象であって、ｙが鼻ならば、ｘは長く、ｙが鼻ではなく、ｘがｙの象ならば、ｘは長くない。
といふ「論理式」は、「偽（ウソ）」である。
然るに、
（17）
― 何度も、書いてゐるやうに、―
③ 象は鼻が長い。⇔
③ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（18）
④ （象は鼻が長い。）といふわけではない。
ではなく、
④ 象は（鼻が長い。）といふわけではない。
であれば、
④ ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
といふ「論理式」に、対応する。
然るに、
（19）
（ⅳ）
１　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝　Ａ
１　　　　（２）　　　象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　　　（４）　　　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　２３ＭＰＰ
１３　　　（５）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　４ド・モルガンの法則
１３　　　（６）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　５含意の定義
　　７　　（７）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３７　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　７８ＭＰＰ
１３７　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　８量化子の関係
　　　ア　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　Ａ
　　　ア　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　ア含意の定義
　　　ア　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　　イ、ド・モルガンの法則
　　　ア　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　ウＥＩ
１３７　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　９アエＥＥ
１３　　　（カ）　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　７オＣＰ
１　　　　（キ）　　　象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）］　　　３カＣＰ
　　　　ク（ク）　　　象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ク（ケ）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ク＆Ｅ
１　　　ク（コ）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　キケＭＰＰ
　　　　ク（サ）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　ク＆Ｅ
１　　　ク（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　コサＭＰＰ
１　　　　（ス）　　　象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　クシＣＰ
１　　　　（セ）∀ｘ｛象ｘ＆　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　　　スＵＩ
（ⅴ）
１　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ＆　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　　　Ａ
１　　　（２）　　　　象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　１ＵＥ
　３　　（３）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　（４）　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３４　（５）　　　　象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　３４＆Ｉ
１３４　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　　２５ＭＰＰ
　　　７（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　　７ド・モルガンの法則
　　　７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　　８含意の定義
　　　７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　７ＥＩ
１３４　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　６７アＥＥ
１３４　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　イ量化子の関係
１３　　（エ）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　４ウＣＰ
１３　　（オ）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　エ含意の定義
１３　　（カ）　　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　　オ、ド・モルガンの法則
１　　　（キ）　　　象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　　３カＣＰ
１　　　（ク）∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝　　キＵＩ
従って、
（19）により、
（20）
④ ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ＆　  ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば［あるｙがｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない］といふことはない。
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（21）
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
といふことは、
⑤ 象は鼻は長いが、鼻以外（例へば、耳）も長い。
といふことである。
従って、
（17）～（21）により、
（22）
④ 象は（鼻が長い。）といふわけではない。⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
⑤ ∀ｘ｛象ｘ＆　  ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝  ⇔
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの鼻以外であって、長い。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（01）～（22）により、
（23）
「番号」を付け直すと、
① 象は鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
③ 象は（鼻が長い。）といふわけではない。
④ （鼻は象が長い。）といふわけではない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
④ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
といふ「述語論理式」に、対応する。
然るに、
（24）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
といふ「論理式」は、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「意味」である。
然るに、
（25）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふことは、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 鼻は、象は長く、象以外は長くない。
といふことである。
従って、
（23）（24）（25）により、
（26）
③ Ａは、ＢがＣである。
といふ「日本語」は、いづれにせよ、
③ Ａは、ＢはＣであり、Ｂ以外はＣではない。
といふ「意味」である。
然るに、
（27）
日本語には、「象は鼻が長い」や「日本は温泉が多い」など、「○○は××が……」のように二重に主語があるように見える文が多くあります。また、主語だけでなく、「この本は、父が買ってくれました」の「この本は」のように「買う」という動詞の目的語が「は」で示されているように見える文もあります。三上章のこの本は、そのような複雑な性質を持つ「…は…が…」の文（後にこの本の題名にちなんで「象鼻文」とよく呼ばれるようになりました）の性質を、助詞「は」の「代行」の性質を使って明確に説明することでわかりやすく解説していくものです。
助詞「は」の代行の性質とは、たとえば、「大根は葉を捨てます」（料理番組）の場合、この「は」は「大根の葉」の「の」の代わり（代行）であるという考え方です。これによって、「象は鼻が長い」も「象の鼻が長いこと」の意味であり、「この本は父が買ってくれた」も「この本を父が買ってくれた」の意味であるという、簡単な説明ができるようになるのです。そして、なぜ代行するのかといいうと、それは、文の《題目》を示すためであるというふうに話が進行し、日本語には主語がなく、《題目》を中核とした言語であるという著者の主張が展開されていきます。日本語の「は」の性格を初めて明確化した著書として、この本は現在の学界でも広く知られています。
現在では三上の主張の、日本語には主語がないという部分については否定的な見解が多くなっていますが、この書で三上が提議した諸問題は、三上の説がそのまま受け入れられている部分が多く、日本語文法研究における「題目」の概念の研究書として第一に上げられるものです。
（象は鼻が長い - 青山学院大学 文学部）
然るに、
（28）
述語論理はもともと数学の理論の記述を目的として生まれたもので， どのような数学的内容も記述できることが経験的に知られている． この高い記述能力は数学以外の知識体系にも応用できる可能性を示している． たとえば，計算機プログラミングの基本的形態の一つである「論理プログラミング」 は基本的には述語論理の考え方を応用したものである．計算機科学では 論理プログラミング以外にもさまざまな場面で述語論理やその拡張・変形が 用いられている．
（京都大学、高崎金久）
然るに、
（29）
「大学の先生（国語学者）」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
④ ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
といふ「論理式」が、さうであるところの、「述語論理」には「関心」が無いし、
「大学の先生（数学者・論理学者）」は、
日本語には、「象は鼻が長い」や「日本は温泉が多い」など、「○○は××が……」のように二重に主語があるように見える文が多くあります。
といふ「象鼻文」には、「関心」が無い。