（671）同一性の「が」（'が' of identity）。

（01）
問題５：ラッセルの「確定記述の理論」を用いて、つぎの論証の健全性を確立せよ。
（ａ）マイン・カンプの著者は１９４５年に死んだ。ヒトラーはマイン・カンプを書いた。故にヒトラーは１９４５年に死んだ。
Exercise 5: Using Russell's theory of definite description, establish the soundness of the following argument.
（ａ）The author of the Mein Kampf died in 1945; Histler wrote Mein Kampf; therefore Histler died in 1945.
（E.J.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１５頁と原文）。
（02）
１　　　（１）∃ｘ（我が闘争ｘ＆４５年死ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
  ２　　（２）　　　我が闘争ａ＆４５年死ａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
 　 ３　（３）∃ｙ｛ヒトラーｙ＆我が闘争ｙ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
 　 　４（４）　　　ヒトラーｂ＆我が闘争ｂ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ）　　Ａ
 　 　４（５）　　　　　　　　　　　　　　　∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ）　　４＆Ｅ
 　 　４（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　我が闘争ａ→ａ＝ｂ　　　５ＵＥ
  ２　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　我が闘争ａ　　　　　　　２＆Ｅ
  ２　４（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　６７ＭＰＰ
 　　 ４（９）　　　ヒトラーｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
  ２　４（ア）　　　ヒトラーａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８９＝Ｅ
  ２　　（イ）　　　　　　　　　４５年死ａ　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
  ２　４（ウ）　　　ヒトラーａ＆４５年死ａ　　　　　　　　　　　　　　　　アイ＆Ｉ
  ２　４（エ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　ウＥＩ
  ２３　（オ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　３４エＥＥ
１　３　（カ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　１２オＥＥ
１　３　（〃）あるｘはヒトラーであって１９４５年に死んだ。　　　　　　　　１２オＥＥ
（03）
問題□：ラッセルの「確定記述の理論」を用いて、つぎの論証の健全性を確立せよ。
（ｂ）マイン・カンプの著者は１９４５年には死んでいない。ヒトラーがマイン・カンプを書いた。故にヒトラーは１９４５年に死ななかった。
Exercise 5: Using Russell's theory of definite description, establish the soundness of the following argument.
（ｂ）The author of the Mein Kampf did not die in 1945; Hitler wrote Mein Kampf; therefore Hisler did not die in 1945.
（04）
１　　　（１）∃ｘ（我が闘争ｘ＆～４５年死ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
  ２　　（２）　　　我が闘争ａ＆～４５年死ａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
 　 ３　（４）∃ｙ｛ヒトラーｙ＆我が闘争ｙ＆～∃ｘ（我が闘争ｘ＆ｘ≠ｙ）｝　Ａ
　　　４（４）　　　ヒトラーｂ＆我が闘争ｂ＆～∃ｘ（我が闘争ｘ＆ｘ≠ｂ）　　Ａ
　　　４（５）　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｘ（我が闘争ｘ＆ｘ≠ｂ）　　４＆Ｅ
　　　４（６）　　　　　　　　　　　　　　　∀ｘ～（我が闘争ｘ＆ｘ≠ｂ）　　５量化子の関係
　　　４（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　～（我が闘争ａ＆ａ≠ｂ）　　６ＵＥ
　　　４（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～我が闘争ａ∨ａ＝ｂ　　　７ド・モルガンの法則
　　　４（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　我が闘争ａ→ａ＝ｂ　　　８含意の定義
　２　  （ア）　　　我が闘争ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２  ４（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　９アＭＰＰ
　　  ４（ウ）　　　ヒトラーｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　２  ４（エ）　　　ヒトラーａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イウ＝Ｅ
　２　  （オ）　　　　　　　　　～４５年死ａ　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２  ４（カ）　　　ヒトラーａ＆～４５年死ａ　　　　　　　　　　　　　　　　エオ＆Ｉ
　２  ４（キ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆～４５年死ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　カＥＩ
　２３　（ク）∃ｘ（ヒトラーｘ＆～４５年死ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　３４キＥＥ
１　３　（ケ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆～４５年死ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　１２９ＥＥ
１　３　（コ）あるｘはヒトラーであって１９４５年には死ななかった。　　　　　１２９ＥＥ
従って、
（01）～（04）により、
（05）
「ラッセルの確定記述の理論」は、
「マイン・カンプの著者」が「ヒトラー」と「同一人物」であるならば、
「マイン・カンプの著者」に対して「起こったこと」は、「ヒトラー」にも「起こったこと」であり、
「マイン・カンプの著者」に対して「起こったらなかったこと」は、「ヒトラー」にも「起こらなかったこと」である。
といふことを、示してゐる。
然るに、
（06）
いづれにせよ、
「マイン・カンプの著者（The author of the Mein Kampf）」は、「一人しかゐない」。
従って、
（06）により、
（07）
① ヒトラーは「マイン・カンプの著者」であって、
② 「マイン・カンプの著者」はヒトラーである。
然るに、
（08）
② 「マイン・カンプの著者」はヒトラーである。
③ ヒトラー以外は「マイン・カンプの著者」ではない。
に於いて、
②＝③ は「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（04）により、
（09）
③ ∃ｙ｛ヒトラーｙ＆我が闘争ｙ＆～∃ｘ（我が闘争ｘ＆ｘ≠ｙ）｝⇔
③ あるｙはヒトラーであって、我が闘争の著者であり、あるｘが我が闘争の著者であって、ｘがｙ以外である、といふことはない。
然るに、
（10）
② 「マイン・カンプの著者」はヒトラーである。
③ ～∃ｘ（我が闘争ｘ＆ｘ≠ｙ）⇔
③ あるｘが我が闘争の著者であって、ｘがｙ以外である、といふことはない。
に於いて、
②＝③ は「対偶（Contraposition）」である。
（01）～（10）により、
（11）
① Histler is the author of the Mein Kampf.
といふ「英語」は、
② ヒトラーは「マイン・カンプの著者」であって、ヒトラー以外は「マイン・カンプの著者」ではない。
といふ「日本語」に相当し、
② ヒトラーは「マイン・カンプの著者」であって、ヒトラー以外は「マイン・カンプの著者」ではない。
といふ「日本語」は、
③ ∃ｙ｛ヒトラーｙ＆我が闘争ｙ＆～∃ｘ（我が闘争ｘ＆ｘ≠ｙ）｝⇔
③ あるｙはヒトラーであって、我が闘争の著者であり、あるｘが我が闘争の著者であって、ｘがｙ以外である、といふことはない。
といふ「述語論理式」に相当する。
然るに、
（07）により、
（12）
① Hitler is the author of the Mein Kampf.
② The author of the Mein Kampf is Hitler.
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
（ｂ）「である（ｉｓ）」の両側にならぶ語句は、近似値的に同じ意味をたもちつつ入れ換えることができるか―もしできるならば、その「である（ｉｓ）」は同一性の「である」（'is' of identity）である。
（E.J.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０５頁改）
従って、
（13）により、
（14）
「Ａ is Ｂ.」であって、
「Ｂ is Ａ.」ならば、「Ａ＝Ｂ」であって、その場合の、「ｉｓ」は、同一性の「である」（'is' of identity）である。
ｃｆ.
「交換法則（commutative law）」。
然るに、
（15）
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I most admire.
Sentences（１）－（３）are simple subjects-predicate sentences; a particular objects（Socrates,Paris,courage）is said to have a certain property（being a philosopher,being a city,being a virtue）.　We accordingly call the 'is' in（１）－（３）the 'is' of predication. This use of 'is' must be contrasted with the 'is' in（４）－（６）, where rather the sense is 'is' the same object as（with 'object' used in some broad neutral sense）. This 'is' we distinguish as the 'is' of identity.
（E.J.Lemmon, Beginning Logic,1978/6/1,p160）
（１）―（３）の文は単純な主語・述語の文である。特定の対象が（ソクラテス、パリ、勇気）がある性質（哲学者であること、都市であること、徳であること）をもつ、と言われるのである。従って、（１）―（３）における「である」のことを、述語の作用する「である」（'is' of predication）とよぶ。この「である」の用法は（４）―（６）における「である」と比較対照される必要がある。ここでは、その意味はむしろ、「同じ対象である」（「対象：という語をある広い、中立的な意味に用いて）である。この「である」をわれわれは同一性の「である」（'is' of identity）として区別する。
（E.J.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０５頁）
従って、
（14）（15）により、
（16）
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I most admire.
であれば、
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I most admire.
（４）The philosopher who taught Plato is Socrates
（５）The capital of France is Paris.
（６）The virtue I most admire is Courage.
に於ける「ｉｓ」が、同一性の「である（'is' of identity）」である。
従って、
（16）により、
（17）
（４）ソクラテスがプラトンを教えた哲学者である。
（５）パりがフランスの首都である。
（６）勇気が私が最も賛美する徳である。
に於ける「が」は、同一性の「が」（'が' of identity）である。
然るに、
（18）
（６）私が最も賛美する徳。
に於ける「が」は、
（６）我が家。
（６）博士が愛した数式。
に於ける「が」と同じく、「連体助詞」の「が」であるため、同一性の「が」（'が' of identity）ではない。