(01)
(ⅰ)
1 (1) ∀x(象x→ 動物x) A
2 (2) ∃x(~動物x&象x) A
1 (3) 象a→ 動物a 1UE
4(4) ~動物a&象a A
4(5) 象a 4&E
1 4(6) 動物a 35&I
4(7) ~動物a 4&E
1 4(8) 動物a&~動物a 67&I
4(9)~∀x(象x→ 動物x) 18RAA
2 (ア)~∀x(象x→ 動物x) 249EE
12 (イ) ∀x(象x→ 動物x)&
~∀x(象x→ 動物x) 1ア&I
1 (ウ)~∃x(~動物x&象x) 2イRAA
(ⅱ)
1 (1)~∃x(~動物x&象x) A
1 (2)∀x~(~動物x&象x) 1量化子の関係
1 (3) ~(~動物a&象a) 1UE
2 (4) 象a A
3(5) ~動物a A
23(6) ~動物a&象a 45&I
123(7) ~(~動物a&象a)&
(~動物a&象a) 36&I
12 (8) ~~動物a 37RAA
12 (9) 動物a 8DN
1 (ア) 象a→ 動物a 29CP
1 (イ) ∀x(象x→ 動物x) アUI
従って、
(01)により、
(02)
① ∀x(象x→ 動物x)
② ~∃x(~動物x&象x)
に於いて、すなはち、
① すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物である)。
②(動物でないxで、象であるx)は存在しない。
に於いて、
①=② である。
従って、
然るに、
(03)
① すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物である)。
といふことは、
① 象であるならば、それは動物である。
といふこと、すなはち、
① 象について言へば、それは動物である。
といふことである。
然るに、
(04)
「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する(この場合は「長い」までをスコープとする)。また、「鼻が」は主格の補語にすぎなく、数ある補語と同じ格であるとする。基本文は述語である「長い」だけだ(三上文法! : wrong, rogue and log)。
従って、
(02)(03)(04)により、
(05)
① ∀x(象x→動物x)⇔
① すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物である)。⇔
① For any x, if x is an elephant then x an animal.⇔
① 象であるならば、それは動物である。 ⇔
① 象について言へば、それは動物である。⇔
① 象は動物である。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
① ∀x(象x→ 動物x)
② ~∃x(~動物x&象x)
に於いて、すなはち、
① 象は動物である。
②(動物でない象)は存在しない。
に於いて、
①=② である。
従って、
(06)により、
(07)
① ∀x(動物x→ 象x)
② ~∃x(~象x&動物x)
に於いて、すなはち、
① 動物は象である。
②(象でない動物)は存在しない。
に於いて、
①=② である。
従って、
(07)により、
(08)
xの変域={象、兎、河馬、ライオン}
であるならば、
① 動物は象である。
② 象以外は動物ではない。
といふ「命題」は、「ウソ(偽)」である。
然るに、
(09)
xの変域={桜、電車、鉛筆、机、象}
であるならば、
① 動物は象である。
② 象以外は動物ではない。
といふ「命題」は、「本当(真)」である。
従って、
(01)(08)(09)により、
(10)
確かに、
① ∀x(動物x→ 象x)
② ~∃x(~象x&動物x)
といふ「命題」に於いて、すなはち、
① 動物は象である。
②(象でない動物)は存在しない。
といふ「命題」に於いて、
① の「真理値」と、
② の「真理値」は、「等しい」。
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