（131）「象は鼻が長い。」の「述語論理」の解説（Ⅱ）。

－「記事（127）」を書き直します。―
（01）
② 象は鼻以外は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
②＆③ は、「矛盾」しない。
然るに、
（02）
① ある象は兎である。
② 象は鼻以外（例へば、耳）は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
①＆②＆③ であるならば、
① ある象は、鼻以外（例へば、耳）は長くないのに、その象の、耳は長い。
といふことになる。
然るに、
（03）
① ある象は、鼻以外（例へば、耳）は長くないのに、その象の、耳は長い。
といふことは、
① 耳は短いのに、耳の長い、象がゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ある象は兎である。
② 象は鼻以外は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
①＆②＆③ は、「矛盾」する。
従って、
（04）により、
（05）
① ある象は兎である。
② 象は鼻以外は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、すなはち、
① ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）。
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。　
③ ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。
に於いて、すなはち、
① あるｘは兎であって、そのｘは象である。
② すべてのｘについて、ｘが象ならば、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
③ すべてのｘについて、ｘが兎ならば、あるｙはｘの耳であって、すべてのｚについて、ｚがｘの耳ならば、ｚはｘの鼻ではない。
に於いて、
①＆②＆③ は、「矛盾」する。
従って、
（01）（02）（05）により、
（06）
① あるｘは兎であって、そのｘは象である。
② すべてのｘについて、ｘが象ならば、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
③ すべてのｘについて、ｘが兎ならば、あるｙはｘの耳であって、すべてのｚについて、ｚがｘの耳ならば、ｚはｘの鼻ではない。
に於いて、すなはち、
① ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）。
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。　
③ ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。
に於いて、すなはち、
① ある象は兎である。
② 象は鼻以外は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
②＆③ である。ならば、
① は、「否定」しなければ、ならない。
ｃｆ.
背理法（Ｒreductio Ａd Ａbsurdum）。
然るに、
（07）
① ある象は兎である。
① ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）。
の「否定」は、
④ すべて象は兎でない。
④ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
の「肯定」である。
然るに、
（08）
１　　　　（１）　∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　２　　　（３）　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　（４）　　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　５　　（５）∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　象ａ→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　　　５ＵＥ
　２５　　（７）　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　　　４６ＭＰＰ
　２５　　（８）　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　７ＵＥ
　　　９　（９）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　　９　（ア）　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　９ＵＥ
　２　９　（イ）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　３アＭＰＰ
　２　９　（ウ）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　　エ（エ）　　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　　　エ（オ）　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
　　　　エ（カ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
　２　９　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　イ＆Ｅ
　２　９　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　キＵＥ
　２　９エ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　オクＭＰＰ
　２５９エ（コ）　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　８ケＭＰＰ
　２５９エ（サ）　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　カコ＆Ｉ
　２５９エ（シ）　　　　　　　　∃ｙ（長ｂ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　サＥＩ
　２５９　（ス）　　　　　　　　∃ｙ（長ｂ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　ウエシＥＥ
１　５９　（セ）　　　　　　　　∃ｙ（長ｂ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　１２スＥＥ
　　５９　（ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１セＲＡＡ
　　５９　（タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ソ量化子の関係
　　５９　（チ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タＵＥ
　　５９　（ツ）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ、ド・モルガンの法則
　　５９　（テ）　　～象ａ∨～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツ交換法則
　　５９　（ト）　　　象ａ→～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ含意の定義
　　５９　（ナ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　トＵＩ
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
② 象は鼻以外は長くない。然るに、
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当（Valid）」である。
然るに、
（10）
② 象は鼻が長い。
といふのではなく、
② 象は鼻は長い。
といふのであれば、
② 象は、鼻以外も、長いのかも、知れないし、
② 象は、鼻以外は、長くないのかも、知れない。
従って、
（10）により、
（11）
② 象は鼻以外は長くない。
といふのであれば、
② 象は鼻が長い。
といふ風に、言はなければ、ならない。
従って、
（09）（11）により、
（12）
② 象は鼻が長い。然るに、
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当（Valid）」である。
然るに、
（13）
③ 兎の耳は鼻ではない。
といふことは、「常識」である。
従って、
（12）（13）により、
（14）
② 象は鼻が長い。然るに、
③ 兎の耳は長い。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（09）（14）により、
（15）
② 象は鼻が長い＝象は鼻以外は長くない。然るに、
③ 兎の耳は長い＝兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
② 象は鼻が長い。然るに、
③ 兎の耳は長い。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論（三段論法）」を、「妥当（Valid）」であると、するならば、
② 象は鼻が長い＝象は鼻以外は長くない。
といふ「等式」を、認めざるを得ない。
然るに、
（17）
② 象は鼻が長い。
といふのであれば、
② 象は鼻が長い＝象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ風に、理解するのが、「普通」である。
然るに、
（18）
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝
② すべてのｘにいて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
（19）
１　　　　（１）　∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　２　　　（３）　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　（４）　　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　５　　（５）∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　象ａ→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　　　５ＵＥ
　２５　　（７）　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　　　４６ＭＰＰ
　２５　　（８）　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　７ＵＥ
　　　９　（９）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　　９　（ア）　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　９ＵＥ
　２　９　（イ）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　３アＭＰＰ
　２　９　（ウ）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　　エ（エ）　　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　　　エ（オ）　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
　　　　エ（カ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
　２　９　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　イ＆Ｅ
　２　９　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　キＵＥ
　２　９エ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　オクＭＰＰ
　２５９エ（コ）　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　８ケＭＰＰ
　２５９エ（サ）　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　カコ＆Ｉ
　２５９エ（シ）　　　　　　　　∃ｙ（長ｂ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　サＥＩ
　２５９　（ス）　　　　　　　　∃ｙ（長ｂ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　ウエシＥＥ
１　５９　（セ）　　　　　　　　∃ｙ（長ｂ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　１２スＥＥ
　　５９　（ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１セＲＡＡ
　　５９　（タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ソ量化子の関係
　　５９　（チ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タＵＥ
　　５９　（ツ）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ、ド・モルガンの法則
　　５９　（テ）　　～象ａ∨～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツ交換法則
　　５９　（ト）　　　象ａ→～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ含意の定義
　　５９　（ナ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　トＵＩ
に於いて、
　　５　　（５）∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　　　　　　　　　　Ａ
といふ「仮定」を、
　　５　　（５）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
といふ「仮定」に、「書き換へ」たとしても、
　　５９　（ナ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　トＵＩ
といふ「結論」に、「変り」は無い。
従って、
（16）～（19）により、
（20）
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝
② すべてのｘにいて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「述語論理」に、対応する。