（181）「全称命題と、存在」について。

（01）
任意の名前が、結論Ｃの中に現れてはならないという理由を知るためには、そうでなければ、
あるものがＦをもつという仮定から、すべてのものがＦをもつということが証明されるであろうということを考えれば十分である。
　１　（１）∃ｘＦｘ　Ａ
　　２（２）　　Ｆａ　Ａ
　１　（３）　　Ｆａ　１２２ＥＥ
　１　（４）∀ｘＦｘ　２ＵＩ
ＵＩの適用は正しい。　　なぜならば、１はａを含んでいないからである。しかし、
ＥＥの適用は正しくない。なぜならば、問題になる結論、ここでは、
　１　（３）　　Ｆａ　１２２ＥＥ
において、　　　　ａ　をふくんでいるからである。
あるものがＦをもっていることから、任意に選ばれた対象がＦをもつということは帰結しない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英雄 訳、1973年、１４７頁改）
然るに、
（02）
（ａ）
　１　（１）∃ｘＦｘ　　　　　　Ａ
　　２（２）　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　１　（３）　　Ｆａ　　　　　　１２２ＥＥ
　１　（４）∀ｘＦｘ　　　　　　２ＵＩ
　　　（５）∃ｘＦｘ→∀ｘＦｘ　１４ＣＰ
　　　（〃）あるｘがＦならば、すべてｘはＦである。
（ｂ）
　１　（１）∃ｘＦｘ　　　　　　Ａ
　　２（２）　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　１　（３）　　Ｆａ　　　　　　１２２ＥＥ
　１　（４）∃ｘＦｘ　　　　　　３ＥＩ
　　　（５）∃ｘＦｘ→∃ｘＦｘ　１４ＣＰ
　　　（〃）あるｘがＦならば、あるｘはＦである。
然るに、
（03）
（ａ）あるｘがＦならば、すべてのｘはＦである。
が「偽」であるのに対して、
（ｂ）あるｘがＦならば、　　あるｘはＦである。
といふ「トートロジー」は、明らかに「真」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「任意の名前が、ＥＥによる結論Ｃの中に現れてはならないという。」のではなく、
「ＥＥによる結論Ｃの中の、任意の名前に対して、ＵＩを適用してはならない。」といふ、ことになる。
（05）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｘ　Ｆｘ　　Ａ
　２　（２）　∃ｘ～Ｆｘ　　Ａ
１　　（３）　　　　Ｆａ　　１ＵＩ
　　４（４）　　　～Ｆａ　　４
１　４（５）Ｆａ＆～Ｆａ　　３４＆Ｅ
　　４（６）～∀ｘ　Ｆｘ　　１５ＲＡＡ
　２　（７）～∀ｘ　Ｆｘ　　２４６ＥＥ
１２　（８）　∀ｘ　Ｆｘ＆
　　　　　　～∀ｘ　Ｆｘ　　１７＆Ｉ
１　　（９）～∃ｘ～Ｆｘ　　２８ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～∃ｘ～Ｆｘ　　Ａ
　２　（２）　　　～Ｆａ　　Ａ
　２　（３）　∃ｘ～Ｆｘ　　２ＥＩ
１２　（４）～∃ｘ～Ｆｘ＆
　　　　　　　∃ｘ～Ｆｘ　　１３＆Ｉ
１　　（５）　　～～Ｆａ　　２４ＲＡＡ
１　　（６）　　　　Ｆａ　　５ＤＮ
１　　（７）　　∀ｘＦｘ　　６ＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）　∀ｘ　Ｆｘ
（ⅱ）～∃ｘ～Ｆｘ
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅱ）であり、
（ⅱ）ならば（ⅰ）である。
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）　∀ｘ　Ｆｘ＝「すべてのｘはＦである。」
（ⅱ）～∃ｘ～Ｆｘ＝「Ｆでないｘは存在しない。」
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
（08）
（ⅲ）
１　　（１）　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）　　　　Ｆａ→　Ｇａ　　１ＵＥ
　３　（３）　∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　Ａ
　　４（４）　　　　Ｆａ＆～Ｇａ　　Ａ
　　４（５）　　　　Ｆａ　　　　　　４＆Ｅ
　　４（６）　　　　　　　～Ｇａ　　４＆Ｅ
１　４（７）　　　　　　　　Ｇａ　　２６ＭＰＰ
１　４（８）　　　　～Ｇａ＆Ｇａ　　６７＆Ｉ
１３　（９）　　　　～Ｇａ＆Ｇａ　　３４８ＥＥ
１　　（ア）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　３９ＲＡＡ
（ⅳ）
１（１）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　Ａ
１（２）∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　１量化子の関係
１（３）　　～（Ｆａ＆～Ｇａ）　２ＵＥ
１（４）　　～Ｆａ∨～～Ｇａ　　３ド・モルガンの法則　
１（５）　　～Ｆａ∨　　Ｇａ　　４ＤＮ
１（６）　　　　Ｆａ→　Ｇａ　　５含意の定義
１（７）　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　６ＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
（ⅲ）　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）
（ⅳ）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
に於いて、
（ⅲ）ならば（ⅳ）であり、
（ⅳ）ならば（ⅲ）である。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅲ）　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）＝「すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧである。」
（ⅳ）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）＝「Ｆであって、Ｇでないｘは、存在しない。」
に於いて、
（ⅲ）＝（ⅳ） である。
（11）
（ⅴ）
１　　（１）　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　Ａ
１　　（２）　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　１ＵＥ
１　　（３）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　２ＵＥ
　４　（４）　　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ<>ｙ）　Ａ
　　５（５）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ<>ｙ　　Ａ
　　５（６）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　５＆Ｅ
　　５（７）　　　　　　　　　　　　ａ<>ｂ　　５＆Ｅ　
１　５（８）　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　３７ＭＰＰ
１　５（９）　　　　　　　　ａ<>ｂ＆ａ＝ｂ　　８９＆Ｉ
１４　（ア）　　　　　　　　ａ<>ｂ＆ａ＝ｂ　　４５９ＥＥ
１　　（イ）　　～∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ<>ｙ）　４アＲＡＡ
１　　（ウ）∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）　イＵＩ
（ⅵ）
１（１）∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）　Ａ
１（２）　　～∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ<>ｙ）　１ＵＥ
１（３）　　∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ＆ａ<>ｙ）　量化子の関係
１（４）　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ＆ａ<>ｂ）　３ＵＥ
１（５）　　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨ａ＝ｂ　　４ド・モルガンの法則　　
１（６）　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　５結合法則
１（７）　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　６ド・モルガンの法則
１（８）　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→　ａ＝ｂ　　７含意の定義
１（９）　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｂ→　ａ＝ｂ）　８ＵＩ
１（ア）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→　ｘ＝ｙ）　９ＵＩ
ｃｆ.
「≠」を「<>」と書くこととし、それ故、「<>ではない」が「＝」であって、「＝ではない」が「<>」である。
従って、
（11）により、
（12）
（ⅴ）　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
（ⅵ）∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）
に於いて、
（ⅴ）ならば（ⅵ）であり、
（ⅵ）ならば（ⅴ）である。
従って、
（12）により、
（13）
（ⅴ）　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）＝「すべてのｘと、すべてのｙについて、ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは同一である。」
（ⅵ）∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）＝「すべてのｘに対して、ｘがＦであって、ｙもＦであって、尚且つ、ｘとｙが同一ではないといふ、そのやうなｙは存在しない。」
に於いて、
（ⅴ）＝（ⅵ） である。
然るに、
（14）　　　　
「量化子の関係」により、
（ⅵ）∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）
（ⅶ）～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）
に於いて、
（ⅵ）＝（ⅶ） である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
（ⅴ）　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）＝「すべてのｘと、すべてのｙについて、ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは同一である。」
（ⅵ）∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）＝「すべてのｘに対して、ｘがＦであって、ｙもＦであって、尚且つ、ｘとｙが同一ではないといふ、そのようなｙは存在しない。」
（ⅶ）～∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）＝「ｘがＦであって、ｙもＦであって、尚且つ、ｘとｙが同一ではないといふ、そのやうなｘは存在しない。」
従って、
（15）により、
（16）
（ⅴ）∀ｘ～∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ<>ｙ）
といふ「論理式」は、
（ⅵ）「・・・・・・・といふ、そのやうなｙは存在しない。」
（ⅶ）「・・・・・・・といふ、そのようなｘは存在しない。」
といふ「意味」になる。
従って、
（16）により、
（17）
（ⅴ）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
といふ「論理式」は、
（ⅵ）「・・・・・・・といふ、そのやうなｙが存在する。」とは、言ってないし、
（ⅶ）「・・・・・・・といふ、そのようなｘが存在する。」とも、言っていない。
従って、
（18）
われわれの記号では、それは次のように書かれる。
　（ⅴ）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
対象ｘおよびｙをとるとする。するとそれらのいずれもがＦをもつならば、それらは同一である。この式は、Ｆをもつものが存在しないことも、またＦをもつ一つのものが存在することも許す。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英雄 訳、1973年、２１１頁）
従って、
（17）（18）により、
（19）
E.J.レモンも、書いてゐるやうに、
（ⅴ）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
といふ「論理式」は、「Ｆをもつものが存在しないことを許してゐる」ため、「この式」は、
（ⅵ）「・・・・・・・といふ、そのやうなｙが存在する。」とは、言ってないし、
（ⅶ）「・・・・・・・といふ、そのようなｘが存在する。」とも、言っていない。
加へて、
（20）
（ⅰ）　∀ｘ　Ｆｘ＝「すべてのｘはＦである。」
（ⅱ）～∃ｘ～Ｆｘ＝「Ｆでないｘは存在しない。」
（ⅲ）　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）＝「すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧである。」
（ⅳ）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）＝「Ｆであって、Ｇでないｘは、存在しない。」
といふ「全称命題」も、「ｘが存在する。」とは、言ってゐない。
然るに、
（20）
（ⅷ）
１　　（１）　　∃ｘＦｘ　　Ａ
　２　（２）　　　　Ｆａ　　Ａ
　　３（３）　∀ｘ～Ｆｘ　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｆａ　　３ＵＥ
　２３（５）Ｆａ＆～Ｆａ　　２４＆Ｉ
　２　（６）～∀ｘ～Ｆｘ　　３５ＲＡＡ
１　　（７）～∀ｘ～Ｆｘ　　１２６ＥＥ
（ⅸ）
１　　（１）～∀ｘ～Ｆｘ　　Ａ
　２　（２）　～∃ｘＦｘ　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｆａ　　Ａ
　　　（４）　　∃ｘＦｘ　　３ＥＩ
　２３（５）　～∃ｘＦｘ＆
　　　　　　　　∃ｘＦｘ　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　　～Ｆａ　　３５ＲＡＡ
　２　（７）  ∀ｘ～Ｆａ    ６ＵＩ
１２　（８）～∀ｘ～Ｆｘ＆
　　　　　　　∀ｘ～Ｆｘ　　１７＆Ｉ
１　　（９）～～∃ｘＦｘ　　２８ＲＡＡ
１　　（ア）　　∃ｘＦｘ　　９ＤＮ
従って、
（20）により、
（21）
（ⅷ）　∃ｘ　Ｆｘ＝「あるｘはＦである。」
（ⅸ）～∀ｘ～Ｆｘ＝「すべてのｘがＦでない。といふわけではない。」
に於いて、
（ⅷ）＝（ⅸ） である。
然るに、
（22）
（ⅷ）「あるｘはＦである。」＝∃ｘＦｘ
といふのであれば、「Ｆであるｘが存在する。」
従って、
（21）（22）により、
（23）
（ⅷ）「あるｘはＦである。」＝∃ｘＦｘ
（ⅸ）「すべてのｘがＦでない。といふわけではない。」＝～∀ｘ～Ｆｘ
に於ける、（ⅷ）だけでなく、（ⅸ）であっても、「Ｆであるｘが存在する。」