（1094）「実質含意（material implication）」について。

（01）
（ⅰ）
　―「含意の定義」を用ひる場合。―
１　（１）～Ｐ　　　　　　　Ａ
１　（２）～Ｐ∨Ｑ　　　　　１∨Ｉ
１　（３）　Ｐ→Ｑ　　　　　２含意の定義
　　（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　１３ＣＰ
　５（５）　Ｐ＆～Ｐ　　　　Ａ
　５（６）　　　～Ｐ　　　　５＆Ｅ
　５（７）　　　　Ｐ→Ｑ　　４６ＭＰＰ
　５（８）　　　　Ｐ　　　　５＆Ｅ
　５（９）　　　　　　　Ｑ　７８ＭＰＰ
　　（ア）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ　５９ＣＰ
（ⅱ）
　―「含意の定義」を用ひない場合。―
１　　　　　　（１）　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　　　　（２）　～Ｐ∨　Ｑ　　　１∨Ｉ
　３　　　　　（３）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　４　　　　（４）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　３　　　　　（５）　　Ｐ　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　　（６）　～Ｐ＆Ｐ　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　　（８）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　３　　　　　（９）　　　　～Ｑ　　　３＆Ｅ
　３　８　　　（ア）　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　３８ＲＡＡ
１　　　　　　（ウ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　　（エ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　オ　（オ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ　（カ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ　（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ＆～Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　　（ク）　　　～～Ｑ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　　（ケ）　　　　　Ｑ　　　クＤＮ
１　　　　　　（コ）　　　Ｐ→Ｑ　　　エケＣＰ
　　　　　　　（サ）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ）　１コＣＰ
　　　　　　シ（シ）　Ｐ＆～Ｐ　　　　Ａ
　　　　　　シ（ス）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　　　　　シ（セ）　　　　Ｐ→Ｑ　　サスＭＰＰ
　　　　　　シ（ソ）　Ｐ　　　　　　　シ＆Ｅ
　　　　　　シ（タ）　　　　　　Ｑ　　セソＭＰＰ
　　　　　　　（チ）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ　シタＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
（〃）（ＰであってＰでない）ならばＱである。
といふ「命題」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、３は偶数である。
といふ「命題」は、「常に真（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　（１）　（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ　Ａ
　２（２）　　　　　　　～Ｑ　Ａ
１２（３）～（Ｐ＆～Ｐ）　　　１２ＭＴＴ
１２（４）　～Ｐ∨　Ｐ　　　　３ド・モルガンの法則
１　（５）～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）　２４ＣＰ
（ⅱ）
１　（１）　～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）　Ａ
　２（２）　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ
　２（３）　　　～（～Ｐ∨Ｐ）　２ド・モルガンの法則
１２（４）～～Ｑ　　　　　　　　１３ＭＴＴ
１２（５）　　Ｑ　　　　　　　　４ＤＮ
１　（６）　（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ　　２５ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
② ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）
に於いて、
①＝② は「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、３は偶数である。
②  ３が奇数であるならば、（２は奇数であるか、２は偶数である）。
に於いて、
①＝② は「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、３は偶数である。
②  ３が奇数であるならば、（２は奇数であるか、２は偶数である）。
といふ「命題」は、両方とも、「常に真（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、３は偶数である。
② ３が奇数であるならば、（２は奇数であるか、２は偶数である）。
に於いて、
② はともかく、
① は「変」であると思ふ方が「普通」である。
然るに、
（01）により、
（09）
１　（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
１　（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義
であるものの、このことは、
① ～Ｐ∨Ｑ
②   Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
①（２が偶数であって、２が奇数である）ならば、３は偶数である。
②  ３が奇数であるならば、（２は奇数であるか、２は偶数である）。
に於いて、
①＝② は「対偶（Contraposition）」である。
といふことになるのも、結局は、
① ～Ｐ∨Ｑ
② 　Ｐ→Ｑ
に於いて、
①＝② である（実質含意の定義）。
といふ「等式」があるからである。