（1024）「同一性（identity）」の「述語論理」（Ⅱ）。

（01）
現在はシアトル・マリナーズの会長付特別補佐兼インストラクターを務めているのは「鈴木（姓）一郎（名）」、
すなはち、「イチロー」である。
従って、
（01）により、
（02）
① 鈴木＝イチロー
① 一郎＝イチロー
である。
従って、
（02）により、
（03）
① 鈴木は日本人である。一郎は日本人である。従って、少なくとも、２人の日本人が存在する。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（04）
② 鈴木は日本人である。佐藤は日本人である。従って、少なくとも、２人の日本人が存在する。
③ 鈴木は日本人である。佐藤は日本人である。渡辺は日本人である。従って、少なくとも、３人の日本人が存在する。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ｘは日本人であって、ｙは日本人であって、尚且つ（ｘ＝ｙ）であるならば、少なくとも、１人の日本人が存在し、
② ｘは日本人であって、ｙは日本人であって、尚且つ（ｘ≠ｙ）であるならば、少なくとも、２人の日本人が存在する。
③ ｘは日本人であって、ｙは日本人であって、ｚは日本人であって、尚且つ（ｘ≠ｙ，ｘ≠ｚ，ｙ≠ｚ）であるならば、少なくとも、３人の日本人が存在する。
従って、
（05）により、
（06）
「日本語」で言ふと、
① あるｘはＦであって、いかなるｘとｙであっても｛（ｘがＦであって、ｙもＦである）ならば、ｘとｙは「同一」である｝。
とするならば、
① 唯一のＦが、存在する。
従って、
（06）により、
（07）
「記号」で書くと、
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ→（ｘ＝ｙ）｝
であるならば、
① 唯一のＦが、存在する。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１　　（１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　Ａ
１　　（２）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　（３）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　（４）　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　１＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　４ＵＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　５ＵＥ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　Ａ
　３７（８）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　３７＆Ｉ
１３７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　６８ＭＰＰ
１３　（ア）　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　７９ＣＰ
１３　（イ）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　アＵＩ
１３　（ウ）　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　３イ＆Ｉ
１３　（エ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　ウＥＩ
１　　（オ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　２３エＥＥ
（ⅱ）
１　　（１）　　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　２　（２）　　　　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　Ａ
　２　（３）　　　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　３ＥＩ
１　　（５）　　　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　１２４ＥＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　２＆Ｅ
１　　（７）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　６ＵＥ
　　８（８）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　８（９）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　８＆Ｅ
１　８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　７９ＭＰＰ
１　　（イ）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　８アＣＰ
１　　（ウ）　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　イＵＩ
１　　（エ）　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　ウＵＩ
１　　（オ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　５エ＆Ｉ
従って、
（08）により、
（09）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ｛Ｆｘ　＆　　∀ｙ（　　　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１　（１）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　２（２）　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　Ａ
　２（３）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　２＆Ｅ
　２（５）　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　４ＵＥ
　２（６）　　　　　　　　　～Ｆｂ∨ａ＝ｂ　　　５含意の定義
　２（７）　　　　　　　　～（Ｆｂ＆ａ≠ｂ）　　６ド・モルガンの法則
　２（８）　　　　　　∀ｙ～（Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　７ＵＩ
　２（９）　　　　　　～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　８量化子の関係
　２（ア）　　　Ｆａ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　３９＆Ｉ
　２（イ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝　アＥＩ
１　（ウ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝　１２イＥＥ
（ⅲ）
１　（１）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　Ａ
　２（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　　　～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　２＆Ｅ
　２（５）　　　　　　∀ｙ～（Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　４量化子の関係
　２（６）　　　　　　　　～（Ｆｂ＆ａ≠ｂ）　　ＵＥ
　２（７）　　　　　　　　　～Ｆｂ∨ａ＝ｂ　　　６ド・モルガンの法則
　２（８）　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　７含意の定義
　２（９）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　８ＵＩ
　２（ア）　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　３９＆Ｉ
　２（イ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　アＥＩ
１　（ウ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　１２イＥＥ
従って、
（10）により、
（11）
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆　∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ｛Ｆｘ　＆　　∀ｙ（　　　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｆｘ　＆　～∃ｙ（　　　Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（12）により、
（13）
それ故、正確に１つのものがＦをもつと言うことは、つぎのように言うことである。
　　（16）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
さて（16）は、実はより短くすっきりとした次の式と導出可能なのである。
　　（17）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
（17）は、あるものがＦをもち、そして任意のＦをもつものはまさにそのものにほかならない、ということを主張する。
正確に１つのものがＦをもつということの、いまひとつの言いかたがある。しかるに、まだもっと明瞭であるかも知れない、第３の同値な式がある。すなわち、
　　（18）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
― Ｆをもつものが存在し、その他のいかなるものもＦをもつことはない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、２１１・２１２頁）
といふ「説明」は、「正しい」。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ｛Ｆｘ　＆　　∀ｙ（　　　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｆｘ　＆　～∃ｙ（　　　Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① あるｘはＦであって、いかなるｘとｙであっても｛ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは「同一」である｝。
② あるｘについて｛ｘはＦであって、いかなるｙであっても、ｙがＦであるならば、ｘとｙは「同一」である｝。
③ あるｘについて｛ｘはＦであって、ｘ＝ｙではない所の、Ｆであるｙは、存在しない｝。
に於いて、
①＝②＝③ である。