（1023）「同一性（identity）」の「述語論理」（ラッセルの確定記述）。

（01）
１　　　　（１）　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）　Ａ
１　　　　（２）　　　∀ｙ（Ｆａ＆～Ｆｙ＆ａ＝ｙ）　１ＵＥ
１　　　　（３）　　　　　　Ｆａ＆～Ｆｂ＆ａ＝ｂ　　２ＵＥ
１　　　　（４）　　　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　　　　３３＝Ｅ
　　　　　（５）～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）　１４ＲＡＡ
　　　　　（６）∃ｘ～∀ｙ（Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）　５量化子の関係
　　　　　（７）∃ｘ∃ｙ～（Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）　６量化子の関係
　８　　　（８）　　∃ｙ～（Ｆａ＆～Ｆｙ＆ａ＝ｙ）　Ａ
　　９　　（９）　　　　～（Ｆａ＆～Ｆｂ＆ａ＝ｂ）　Ａ
　　９　　（ア）　　　　　～Ｆａ∨　Ｆｂ∨ａ≠ｂ　　９ド・モルガンの法則
　　９　　（イ）　　　　　～Ｆａ∨ａ≠ｂ∨　Ｆｂ　　ア交換法則
　　９　　（ウ）　　　　（～Ｆａ∨ａ≠ｂ）∨Ｆｂ　　イ結合法則
　　　エ　（エ）　　　　（～Ｆａ∨ａ≠ｂ）　　　　　Ａ
　　　エ　（オ）　　　　～（Ｆａ＆ａ＝ｂ）　　　　　エ、ド・モルガンの法則
　　　エ　（カ）　　　　～（Ｆａ＆ａ＝ｂ）∨Ｆｂ　　オ∨Ｉ
　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　Ａ
　　　　キ（ク）　　　　～（Ｆａ＆ａ＝ｂ）∨Ｆｂ　　キ∨Ｉ
　　９　　（ケ）　　　　～（Ｆａ＆ａ＝ｂ）∨Ｆｂ　　ウエカキク∨Ｅ
　　９　　（コ）　　　　　（Ｆａ＆ａ＝ｂ）→Ｆｂ　　ケ含意の定義
　　９　　（サ）　　∃ｙ｛（Ｆａ＆ａ＝ｙ）→Ｆｙ｝　コＥＩ
　８　　　（シ）　　∃ｙ｛（Ｆａ＆ａ＝ｙ）→Ｆｙ｝　８９サＥＥ
　８　　　（ス）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆ｘ＝ｙ）→Ｆｙ｝　シＥＩ
　　　　　（セ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆ｘ＝ｙ）→Ｆｙ｝　７８スＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆ｘ＝ｙ）→Ｆｙ｝
① あるｘとｙについて｛（ｘがＦで、ｘとｙが同一である）ならば、ｙはＦである｝。
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
例へば、
① ある人（ｘ）が理事で、その人（ｘ）が私（ｙ）と「同一人物」であるならば、私（ｙ）は理事である。
といふ「命題」は、「恒に真（本当）」である。
然るに、
（04）
① 理事長は、一人しかゐないが、
① 理事は、　一人では、ない。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ある人（ｘ）が理事で、その人（ｘ）が私（ｙ）と「同一人物」であるならば、私（ｙ）は理事である。
としても、
① 私＝理事（私以外は理事ではない）。
といふことには、ならない。
然るに、
（06）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛個体の領域｝であるとして、
ａ＝ｂ
ａ＝ｃ
ｂ＝ｃ
であるならば、そのときに限って、
ａ＝ｂ
ａ＝ｃ
ｂ＝ａ
ｂ＝ｃ
ｃ＝ａ
ｃ＝ｂ
であって、
ａ＝ｂ
ａ＝ｃ
ｂ＝ａ
ｂ＝ｃ
ｃ＝ａ
ｃ＝ｂ
であるならば、そのときに限って、
ａ＝ｂ＝ｃ
であって、
ａ＝ｂ＝ｃ
であるならば、そのときに限って、
｛ａ，ｂ，ｃ｝＝｛ａ｝
である。
従って、
（06）により、
（07）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛個体の領域｝であるとして、
ａ＝ｂ
ａ＝ｃ
ｂ＝ａ
ｂ＝ｃ
ｃ＝ａ
ｃ＝ｂ
であるならば、そのときに限って、
｛ａ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
然るに、
（08）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛個体の領域｝であるとして、
として、
｛ａ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、｛個体の個数｝は、｛（ａによる）１個｝である。
従って、
（08）により、
（09）
② ∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ）
であるならば、すなはち、
② すべてのｘとｙについて（ｘとｙは同一である）。
であるならば、
② ｘとｙは「同一」であって、尚且つ、「（唯一の）ｘ」である。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１（１）　　　　　　∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ）　Ａ
１（２）　　　　　　　　∀ｙ（ａ＝ｙ）　１ＵＥ
１（３）　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　２ＵＥ
１（４）　　～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　４含意の定義
１（６）　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　５ＵＩ
１（７）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　６ＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
② ∀ｘ∀ｙ（　　　　　　ｘ＝ｙ）
③ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
② ならば、③である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
③ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
③ ｘは「Ｆである所の、唯一のｘ」である。
従って、
（12）により、
（13）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、すなはち、
② あるｘは（Ｆであり）、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであってｙもＦであるならば、ｘとｙは同一である）。
であるならば、
② Ｆである所の、唯一のｘが存在する。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１　　（１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　Ａ
１　　（２）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　（３）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　（４）　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　１＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　４ＵＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　５ＵＥ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　Ａ
　３７（８）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　３７＆Ｉ
１３７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　６８ＭＰＰ
１３　（ア）　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　７９ＣＰ
１３　（イ）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　アＵＩ
１３　（ウ）　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　３イ＆Ｉ
１３　（エ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　ウＥＩ
１　　（オ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　２３エＥＥ
（ⅲ）
１　　（１）　　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　２　（２）　　　　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　Ａ
　２　（３）　　　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　３ＥＩ
１　　（５）　　　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　１２４ＥＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　２＆Ｅ
１　　（７）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　６ＵＥ
　　８（８）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　８（９）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　８＆Ｅ
１　８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　７９ＭＰＰ
１　　（イ）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　８アＣＰ
１　　（ウ）　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　イＵＩ
１　　（エ）　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　ウＵＩ
１　　（オ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　５エ＆Ｉ
従って、
（14）により、
（15）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
③ ∃ｘ｛Ｆｘ　＆　　∀ｙ（　　　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
③ ∃ｘ｛Ｆｘ　＆∀ｙ　　（　　　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
であるならば、すなはち、
② あるｘは（Ｆであり）、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであってｙもＦであるならば、ｘとｙは同一である）。
③ あるｘは｛Ｆであり、　すべてのｙ　　について（　　　　　　　ｙがＦであるならば、ｘとｙは同一である）｝。
であるならば、
② Ｆである所の、唯一のｘが存在する。
③ Ｆである所の、唯一のｘが存在する。
従って、
（16）により、
（17）
それ故、正確に１つのものがＦをもつと言うことは、つぎのように言うことである。
　　（16）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
さて（16）は、実はより短くすっきりとした次の式と導出可能なのである。
　　（17）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
（17）は、あるものがＦをもち、そして任意のＦをもつものはまさにそのものにほかならない、ということを主張する。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、２１１・２１２頁）
といふ「説明」は、「正しい」。