(01)
1 (1)∀x{∀y(鼻yx→~長y)∨∃z(~鼻zx&長z)→~象x} A
2 (2)∀x{亀x→∃y(鼻yx&~長y)} A
3 (3)∃x(亀x&象x) A
1 (4) ∀y(鼻ya→~長y)∨∃z(~鼻za&長y)→~象a 1UE
2 (5) 亀a→∃y(鼻ya&~長y) 2UE
6 (6) 亀a&象a A
6 (7) 亀a 6&E
2 6 (8) ∃y(鼻ya&~長y) 57MPP
9 (9) 鼻ba&~長b A
9 (ア) ~長b 9&E
6 (イ) 象a 6&E
6 (ウ) ~~象a イDN
1 6 (エ) ~{∀y(鼻ya→~長y)∨ ∃z(~鼻za&長y)} 4ウMTT
1 6 (オ) ~∀y(鼻ya→~長y)&~∃z(~鼻za&長y) エ、ド・モルガンの法則
1 6 (カ) ~∀y(鼻ya→~長y) オ&E
1 6 (キ) ∃y~(鼻ya→~長y) カ量化子の関係
ク(ク) ~(鼻ba→~長b) A
ク(ケ) ~(~鼻ba∨~長b) ク含意の定義
ク(コ) 鼻ba& 長b ケ、ド・モルガンの法則
ク(サ) 長b コ&E
9ク(シ) ~長b&長b アサ&I
1 69 (ス) ~長b&長b キクシEE
12 6 (セ) ~長b&長b 89スEE
123 (ソ) ~長b&長b 36セEE
12 (タ)~∃x(亀x&象x) 3ソRAA
12 (チ)∀x~(亀x&象x) タ量化子の関係
12 (ツ) ~(亀a&象a) チUE
12 (テ) ~亀a∨~象a ツ、ド・モルガンの法則
12 (ト) 亀a→~象a テ含意の定義
12 (ナ)∀x(亀x→~象x) トUI
従って、
(01)により、
(02)
(ⅰ)∀x{∀y(鼻yx→~長y)∨∃z(~鼻zx&長z)→~象x}。然るに、
(ⅱ)∀x{亀x→∃y(鼻yx&~長y)}。従って、
(ⅲ)∀x(亀x→~象x)。
といふ「推論(三段論法)」、すなはち、
(ⅰ)すべてのxについて{すべてのyについて(yがxの鼻であるならばyは長くない)か、または、あるzについて(zがxの鼻ではなくて長い)ならば、xは象ではない}。然るに、
(ⅱ)すべてのxについて{xが亀であるならば、あるyは(xの鼻であり、yは長くない)}。 従って、
(ⅲ)すべてのxについて(xが亀であるならば、xは象ではない。)
といふ「推論(三段論法)」は、「妥当」である。
従って、
(02)により、
(03)
(ⅰ)鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。然るに、
(ⅱ)亀の鼻は長くない。従って、
(ⅲ)亀は象ではない。
といふ「推論(三段論法)」は、「妥当」である。
(04)
1 (1)∀x{∀y(鼻yx→~長y)∨∃z(~鼻zx&長z)→~象x} A
2 (2)∀x{兎x→∃y(長y&耳yx)& ∀z(耳zx→~鼻zx)} A
3 (3)∃x(兎x&象x) A
1 (4) ∀y(鼻ya→~長y)∨∃z(~鼻za&長y)→~象a 1UE
2 (5) 兎a→∃y(長y&耳ya)& ∀z(耳za→~鼻za) 2UE
6 (6) 兎a&象a A
6 (7) 兎a 6&E
2 6 (8) ∃y(長y&耳ya)& ∀z(耳za→~鼻za) 57MPP
2 6 (9) ∃y(長y&耳ya) 8&E
2 6 (ア) ∀z(耳za→~鼻za) 8&E
イ(イ) 長b&耳ba A
2 6 (ウ) 耳ba→~鼻ba アUE
イ(エ) 耳ba イ&E
2 6イ(オ) ~鼻ba ウエMPP
イ(カ) 長b イ&E
2 6イ(キ) ~鼻ba&長b オカ&I
2 6イ(ク) ∃z(~鼻za&長b) キEI
2 6 (ケ) ∃z(~鼻za&長b) 9イクEE
2 6 (コ) ∀y(鼻ya→~長y)∨∃z(~鼻za&長y) ケ∨I
12 6 (サ) ~象a 4コMPP
12 6 (シ) 象a 6&E
12 6 (ス) 象a&~象a サシ&I
123 (セ) 象a&~象a 36スEE
12 (ソ)~∃x(兎x&象x) 3セRAA
12 (タ)∀x~(兎x&象x) ソ量化子の関係
12 (チ) ~(兎a&象a) タUE
12 (ツ) ~兎a∨~象a チ、ド・モルガンの法則
12 (テ) 兎a→~象a ツ含意の定義
12 (ト)∀x(兎x→~象x) テUI
従って、
(04)により、
(05)
(ⅰ)∀x{∀y(鼻yx→~長y)∨∃z(~鼻zx&長z)→~象x}。然るに、
(ⅱ)∀x{兎x→∃y(長y&耳yx)& ∀z(耳zx→~鼻zx)}。従って、
(ⅲ)∀x(兎x→~象x)。
といふ「推論(三段論法)」、すなはち、
(ⅰ)すべてのxについて{すべてのyについて(yがxの鼻であるならばyは長くない)か、または、あるzについて(zがxの鼻ではなくて長い)ならば、xは象ではない}。然るに、
(ⅱ)すべてのxについて{xが兎であるならば、あるyは長くて、xの耳であり、すべてのzについて(zがxの耳であるならば、zはxの鼻ではない)}。 従って、
(ⅲ)すべてのxについて(xが兎であるならば、xは象ではない。)
といふ「推論(三段論法)」は、「妥当」である。
従って、
(05)により、
(06)
(ⅰ)鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。然るに、
(ⅱ)兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。 従って、
(ⅲ)兎は象ではない。
といふ「推論(三段論法)」は、「妥当」である。
従って、
(01)~(06)により、
(07)
(ⅰ)鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。然るに、
(ⅱ)亀の鼻は長くないし、
(ⅲ)兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。 従って、
(ⅳ)亀は象ではなく、兎も象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(08)
(ⅰ)象は鼻が長い。 然るに、
(ⅱ)亀の鼻は長くないし、
(ⅲ)兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
(ⅳ)亀は象ではなく、兎も象ではない。
といふ「推論」も、「妥当」である。
従って、
(07)(08)により、
(09)
① 象は鼻が長い。
② 鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。
に於いて、
①=② であるに、違ひない。
然るに、
(10)
(ⅲ)
1 (1)∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)} A
1 (2) 象a→∃y(鼻ya& 長y)& ∀z(~鼻za→~長z) 1UE
3 (3) ∀y(鼻ya→~長y)∨ ∃z(~鼻za& 長b) A
4 (4) ∀y(鼻ya→~長y) A
4 (5) 鼻ba→~長b 5UE
4 (6) ~鼻ba∨~長b 5含意の定義
4 (7) ~(鼻ba& 長b) 6ド・モルガンの法則
4 (8) ∀y~(鼻ya& 長y) 7UI
4 (9) ~∃y(鼻ya& 長y) 8量化子の関係
4 (ア) ~∃y(鼻ya& 長y)∨~∀z(~鼻za→~長z) 9∨I
5 (イ) ∃z(~鼻za& 長z) A
ウ(ウ) ~鼻ba& 長b A
ウ(エ) ~(鼻ba∨~長b) ウ、ド・モルガンの法則
ウ(オ) ~(~鼻ba→~長b) エ含意の定義
ウ(カ) ∃z~(~鼻za→~長z) オEI
ウ(キ) ~∀z(~鼻za→~長z) カ量化子の関係
ウ(ク) ~∃y(鼻ya& 長y)∨~∀z(~鼻za→~長z) キ∨I
3 (ケ) ~∃y(鼻ya& 長y)∨~∀z(~鼻za→~長z) 34アウク∨E
3 (コ) ~{∃y(鼻ya& 長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)} ケ、ド・モルガンの法則
13 (サ) ~象a 2コRAA
1 (シ) ∀y(鼻ya→~長y)∨∃z(~鼻za& 長y)→~象a 3サCP
1 (ス)∀x{∀y(鼻yx→~長y)∨∃z(~鼻zx& 長z)→~象x} シUI
(ⅳ)
1 (1) ∀x{∀y(鼻yx→~長y)∨ ∃z(~鼻zx& 長z)→~象x} A
1 (2) ∀y(鼻ya→~長y)∨ ∃z(~鼻za& 長y)→~象a 1UE
3 (3) 象a A
3 (4) ~~象a 3DN
13 (5) ~{∀y(鼻ya→~長y)∨ ∃z(~鼻za& 長y)} 24MTT
13 (6) ~∀y(鼻ya→~長y)&~∃z(~鼻za& 長y) 5ド・モルガンの法則
13 (7) ~∀y(鼻ya→~長y) 6&E
13 (8) ∃y~(鼻ya→~長y) 7量化子の関係
9(9) ~(鼻ba→~長b) A
9(ア) ~(~鼻ba∨~長b) 9含意の定義
9(イ) (鼻ba& 長b) ア、ド・モルガンの法則
9(ウ) ∃y(鼻ya& 長y) イEI
13 (エ) ∃y(鼻ya& 長y) 89ウEE
13 (オ) ~∃z(~鼻za& 長y) 6&E
13 (カ) ∀z~(~鼻za& 長y) オ量化子の関係
13 (キ) ~(~鼻ba& 長b) カUE
13 (ク) ~~鼻ba∨~長b キ、ド・モルガンの法則
13 (ケ) ~鼻ba→~長b ク含意の定義
13 (コ) ∀z(~鼻za→~長y) ケUI
13 (サ) ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) エコ&I
1 (シ) 象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) 3サCP
1 (ス)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} シUI
従って、
(10)により、
(11)
③ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
④ ∀x{∀y(鼻yx→~長y)∨∃z(~鼻zx&長z)→~象x}
に於いて、すなはち、
③ すべてのxについて{xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、長く、すべてのzについて(zがxの鼻でないならば、zは長くない)}。
④ すべてのxについて{すべてのyについて(yがxの鼻であるならばyは長くない)か、または、あるzについて(zがxの鼻ではなくて長い)ならば、xは象ではない}。
に於いて、
③=④ は、「対偶」である。
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
① 象は鼻が長い。
② 鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。
といふ「日本語」は、
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
② ∀x{∀y(鼻yx→~長y)∨∃z(~鼻zx&長z)→~象x}
といふ「意味」であって、
①=② は、すなはち、
③=④ は、「対偶」である。
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