(01)
U={太郎、花子、トム、エマ}
とする。
従って、
(01)により、
(02)
① 花子ではない。
② 太郎であるか、トムであるか、または、エマである。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
太郎=日本人の男子
花子=日本人の女子
トム=外国人の男子
エマ=外国人の女子
とする。
然るに、
(04)
P& Q=日本人であって、男子である。
P&~Q=日本人であって、女子である。
~P& Q=外国人であって、男子である。
~P&~Q=外国人であって、女子である。
とする。
従って、
(01)~(04)により、
(05)
① 花子ではない。
② 太郎であるか、トムであるか、または、エマである。
に於いて、
①=② である。
といふことは、
① ~(P&~Q)
② (P& Q)であるか、(~P&Q)であるか、または、(~P&~Q)である。
に於いて、
①=② である。
といふことに、他ならない。
然るに、
(06)
② ~P∨Q
といふ「論理式」は、
② (P&Q)であるか、(~P&Q)であるか、または、(~P&~Q)である。
といふ「意味」である。
従って、
(05)(06)により、
(07)
① ~(P&~Q)
② ~P∨ Q
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)
然るに、
(06)により、
(08)
② ~P∨Q
といふ「論理式」が、
② (P&Q)であるか、(~P&Q)であるか、または、(~P&~Q)である。
といふ「意味」である。
といふことは、
② ~P∨Q
に於ける、
② P が「偽」であって、
② ~P が「真」である場合は、
② Q の「真・偽」に拘はらず、
② ~P∨ Q
は、「恒に真」である。
といふことである。
然るに、
(09)
② ~P が「真」である場合は、
② Q の「真・偽」に拘はらず、
② ~P∨ Q
は、「恒に真」である。
といふことは、
② ~P├ ~P∨Q
といふ「連式」が「妥当」である。
といふことである。
然るに、
(09)により、
(10)
② ~P├ ~P∨Q
といふ「連式」が「妥当」である。
といふことは、
1(1)~P A
1(2)~P∨Q 1∨I
といふ「推論(選言導入の規則)」が「妥当」である。
といふことである。
従って、
(06)~(10)により、
(11)
② ~P∨Q
といふ「論理式」は、
② (P&Q)であるか、(~P&Q)であるか、または、(~P&~Q)である。
といふ「意味(両立的選言)」である。
とすることによって、「ド・モルガンの法則」が成立し、尚且つ、「選言導入の規則」が「妥当」となる。
従って、
(11)により、
(12)
「両立的選言」と、「ド・モルガンの法則」と、「選言導入の規則」は、
「3つ」で、「1つ」である。
然るに、
(13)
(ⅰ)
1 (1) ~P A
1 (2) ~P∨ Q 1∨I(選言導入の規則)
1 (3)~(P&~Q) 2ド・モルガンの法則
4 (4) P A
5(5) ~Q A
45(6) P&~Q 45
145(7)~(P&~Q)&
(P&~Q) 26&I
14 (8) ~~Q 57RAA
14 (9) Q 8DN
1 (ア) P→ Q 49CP
(ⅱ)
1 (1) Q A
1 (2) ~P∨ Q 1∨I(選言導入の規則)
1 (3)~(P&~Q) 2ド・モルガンの法則
4 (4) P A
5(5) ~Q A
45(6) P&~Q 45
145(7)~(P&~Q)&
(P&~Q) 26&I
14 (8) ~~Q 57RAA
14 (9) Q 8DN
1 (ア) P→ Q 49CP
従って、
(12)(13)により、
(14)
「両立的選言」と、「ド・モルガンの法則」と、「選言導入の規則」は、
「3つ」で、「1つ」であるが故に、
① ~P├ P→Q
② Q├ P→Q
といふ「連式」は、「妥当」となる(実質含意のパラドクス)。
従って、
(14)により、
(15)
P=バカボンのパパは天才である。
Q=太陽は西から昇る。
として、
Pが「偽」であるならば、
① P→Q=バカボンのパパは天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題」は、「真」であって、
P=バカボンのパパは天才である。
Q=太陽は東から昇る。
として、
Qが「真」であるならば、
② P→Q=バカボンのパパは天才であるならば、太陽は東から昇る。
といふ「仮言命題」は、「真」である。
然るに、
(16)
(17)
① P→Q=バカボンのパパは天才であるならば、太陽は西から昇る。
② P→Q=バカボンのパパは天才であるならば、太陽は東から昇る。
といふ「仮言命題」が「真」であるとしても、
① P=バカボンのパパは天才である。
② P=バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」が「偽」であるとすれば、
① 太陽は西から昇り、尚且つ、
② 太陽は東から昇る。
といふことは、無い。
然るに、
(18)
1 (1) ~P& P A
1 (2) ~P 1&E
1 (3) ~P∨ Q 2∨I
1 (4)~(P&~Q) 3ド・モルガンの法則
5 (5) P A
56(7) P&~Q 56&I
156(8)~(P&~Q)&
(P&~Q) 47&I
15 (9) ~~Q 68DN
15 (ア) Q 9DN
1 (イ) P→ Q 5アCP
1 (ウ) P 1&E
1 (エ) Q イウMPP
(オ)(~P&P)→Q 1エCP
従って、
(18)により、
(19)
P=バカボンのパパは天才である。
Q=太陽は西から昇る。
であるとして、
③(~P&P)→Q=(バカボンのパパが天才でなくて天才である)ならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題(爆発則)」は、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(20)
1(1) ~P&P A
(2)~(~P&P) 11RAA(背理法)
(3) P∨~P 2ド・モルガンの法則
従って、
(18)(20)により、
(21)
「矛盾(~P&P)」を「仮定」すると、
「背理法(RAA)」によって、「否定」され、その「結果」として、 「ド・モルガンの法則」により、「P∨~P(排中律)」が「導出」されるため、
1 (1) ~P& P A
1 (2) ~P 1&E
1 (3) ~P∨ Q 2∨I
1 (4)~(P&~Q) 3ド・モルガンの法則
5 (5) P A
56(7) P&~Q 56&I
156(8)~(P&~Q)&
(P&~Q) 47&I
15 (9) ~~Q 68DN
15 (ア) Q 9DN
1 (イ) P→ Q 5アCP
1 (ウ) P 1&E
1 (エ) Q イウMPP
(オ)(~P&P)→Q 1エCP
といふ「計算」は、成立しない。
従って、
(18)~(21)により、
(22)
③(~P&P)→Q
④(P∨~P)
に於いて、すなはち、
③ 爆発律
④ 排中律
に於いて、
③と④ は、「両立」しない。
従って、
(17)(19)(22)により、
(23)
① P→Q=バカボンのパパは天才であるならば、太陽は西から昇る。
② P→Q=バカボンのパパは天才であるならば、太陽は東から昇る。
といふ「仮言命題」が「真」であるとしても、
① P=バカボンのパパは天才である。
② P=バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」が「偽」であるとすれば、
① 太陽は西から昇り、尚且つ、
② 太陽は東から昇る。
といふことは、無いし、
③(~P&P)→Q=(バカボンのパパが天才でなくて天才である)ならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題(爆発則)」が、「恒真式(トートロジー)」である。
といふことも、無い。
従って、
(23)により、
(24)
「実質含意のパラドクス」と呼ばれるものは、
実際には、「パラドクス」ではない。
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それにしても、JFKさんが「応援」して下さっている現実が実に羨ましいです。
ならば、私も「いいね!」欄を公開にするべきことは理解していますが、それは当の昔に閉鎖しております。
「実質含意のパラドクス」という言葉が私には多少不可解なのですが。
ただまあ、パラドクスと言えどもonomameusさんが書かれている通り、その解釈は多様であるべきであり、そのような結論になるのでしょう。