(01)
(ⅰ)
1 (1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
2 (2)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(~耳zx→~長z&耳zx→~鼻zx)} A
3 (3)∃x(象x&兎x) A
1 (4) 象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) 1UE
2 (5) 兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(~耳za→~長z&耳za→~鼻za) 2UE
6 (6) 象a&兎a A
6 (7) 兎a 6&E
6 (8) 兎a 6&E
1 6 (9) ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) 47MPP
2 6 (ア) ∃y(耳ya&長y)&∀z(~耳za→~長z&耳za→~鼻za) 58MPP
1 6 (イ) ∃y(鼻ya&長y) 9&E
ウ (ウ) 鼻ba&長b A
1 6 (エ) ∀z(~鼻za→~長z) 9&E
1 6 (オ) ~鼻ba→~長b エUE
2 6 (カ) ∃y(耳ya&長y) ア&E
キ(キ) 耳ba&長b A
2 6 (ク) ∀z(~耳za→~長z&耳za→~鼻za) ア&E
2 6 (ケ) ~耳ba→~長b&耳ba→~鼻ba クUE
2 6 (コ) 耳ba→~鼻ba ケ&E
キ(サ) 耳ba キ&E
2 6 キ(シ) ~鼻ba コサMPP
12 6 キ(ス) ~長b オシMPP
ウ (セ) 長b ウ&E
12 6ウキ(ソ) 長b&~長b シス&I
12 6ウ (タ) 長b&~長b カキソEE
12 6 (チ) 長b&~長b イウタEE
123 (ツ) 長b&~長b 36チEE
12 (テ)~∃x(象x&兎x) 3ツRAA
12 (ト)∀x~(象x&兎x) テ量化子の関係
12 (ナ) ~(象a&兎a) トUE
12 (ニ) ~象a∨~兎a ナ、ド・モルガンの法則
12 (ヌ) ~兎a∨~象a ニ交換法則
12 (ネ) 兎a→~象a ヌ含意の定義
12 (ノ)∀x(兎x→~象x) ネUI
12 (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、xは象ではない。 ネUI
12 (〃)兎は象ではない(Rabbits can not be elephants)。 ネUI
従って、
(01)により、
(02)
1 (1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
2 (2)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(~耳zx→~長z&耳zx→~鼻zx)} A
12 (ノ)∀x(兎x→~象x) ネUI
といふ「推論」、すなはち、
(1)象は鼻が長い。然るに、
(2)兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
(3)兎は象ではない(Rabbits can not be elephants)。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
(01)(02)により、
(03)
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyは、xの鼻であって、長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(04)
(ⅰ)
1 (1) ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
1 (2) 象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) 1UE
3 (3) ∀z(~鼻za→~長z)→∀y(鼻ya→~長y) A
4(4) ∀z(~鼻za→~長z) A
34(5) ∀y(鼻ya→~長y) 34MPP
34(6) 鼻ba→~長b 5UE
34(7) ~鼻ba∨~長b 6含意の定義
34(8) ~(鼻ba& 長b) 7ド・モルガンの法則
34(9) ∀y~(鼻ya& 長y) 8UI
34(ア) ~∃y(鼻ya& 長y) 9量化子の関係
3 (イ) ∀z(~鼻za→~長z)→~∃y(鼻ya& 長y) 4アCP
3 (ウ) ~∀z(~鼻za→~長z)∨~∃y(鼻ya& 長y) イ含意の定義
3 (エ) ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z) ウ交換法則
3 (オ) ~{∃y(鼻ya&長y)& ∀z(~鼻za→~長z)} エ、ド・モルガンの法則
13 (カ) ~象a 2オMTT
1 (キ) ∀z(~鼻za→~長z)→∀y(鼻ya→~長y)→~象a 3カCP
1 (ク)∀x{∀z(~鼻zx→~長z)→∀y(鼻yx→~長y)→~象x} キUI
(ⅱ)
1 (1) ∀x{∀z(~鼻zx→~長z)→∀y(鼻yx→~長y)→~象x} A
1 (2) ∀z(~鼻za→~長z)→∀y(鼻ya→~長y)→~象a 1UE
3 (3) 象a A
3 (4) ~~象a 3DN
13 (5) ~{∀z(~鼻za→~長z)→ ∀y(鼻ya→~長y)} 23MTT
6 (6) ~∀z(~鼻za→~長z)∨ ∀y(鼻ya→~長y) A
6 (7) ∀z(~鼻za→~長z)→ ∀y(鼻ya→~長y) 6含意の定義
136 (8) ~{∀z(~鼻za→~長z)→ ∀y(鼻ya→~長y)}&
{∀z(~鼻za→~長z)→ ∀y(鼻ya→~長y)} 57&
13 (9) ~{~∀z(~鼻za→~長z)∨ ∀y(鼻ya→~長y)} 68RAA
13 (ア) ∀z(~鼻za→~長z)&~∀y(鼻ya→~長y) 9ド・モルガンの法則
13 (イ) ~∀y(鼻ya→~長y)&∀z(~鼻za→~長z) ア交換法則
13 (ウ) ~∀y(鼻ya→~長y) イ&E
13 (エ) ∃y~(鼻ya→~長y) ウ量化子の関係
オ (オ) ~(鼻ba→~長b) A
カ(カ) ~鼻ba∨~長b A
カ(キ) 鼻ba→~長b カ含意の定義
オカ(ク) ~(鼻ba→~長b)&
(鼻ba→~長b) オキ&I
オ (ケ) ~(~鼻ba∨~長b) カクRAA
オ (コ) 鼻ba& 長b ケ、ド・モルガンの法則
オ (サ) ∃y(鼻ya& 長y) コEI
13 (シ) ∃y(鼻ya& 長y) エオサEE
13 (ス) ∀z(~鼻za→~長z) イ&E
13 (セ) ∃y(鼻ya& 長y)&∀z(~鼻za→~長z) シス&I
1 (ソ) 象a→∃y(鼻ya& 長y)&∀z(~鼻za→~長z) 3セCP
1 (タ)∀x{象x→∃y(鼻ya& 長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} ソUI
従って、
(04)により、
(05)
① ∀x{象x→∃y(鼻ya& 長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
② ∀x{∀z(~鼻zx→~長z)→∀y(鼻yx→~長y)→~象x}
に於いて、
①=② は、「対偶(Contraposition)」である。
然るに、
(06)
(ⅲ)
1 (1) ∀x(Fx→ Gx) A
2 (2) ∃x(Fx&~Gx) A
3(3) Fa&~Ga A
3(4) Fa 3&E
3(5) ~Ga 3&E
1 (6) Fa→ Ga 1UE
1 3(7) Ga 46MPP
1 3(8) Fa&~Ga 57&I
12 (9) Fa&~Ga 238EE
1 (ア)~∃x(Fx&~Gx)
(ⅳ)
1 (1) ~∃x(Fx&~Gx) A
2 (2) ~∀x(Fx→ Gx) A
2 (3) ∃x~(Fx→ Gx) 2量化子の関係
4 (4) ~(Fa→ Ga) A
5(5) ~Fa∨ Ga A
5(6) Fa→ Ga 6含意の定義
45(7) ~(Fa→ Ga)&
(Fa→ Ga) 46&I
4 (8) ~(~Fa∨ Ga) 57RAA
4 (9) Fa&~Ga 8ド・モルガンの法則
4 (ア) ∃x(Fx&~Gx) 9EI
2 (イ) ∃x(Fx&~Gx) 34アEE
12 (ウ) ~∃x(Fx&~Gx)&
∃x(Fx&~Gx) 1イ&I
1 (エ)~~∀x(Fx→ Gx) 2ウRAA
1 (オ) ∀x(Fx→ Gx) エDN
従って、
(06)により、
(07)
③ ∀x(Fx→ Gx)
④ ~∃x(Fx&~Gx)
に於いて、
③=④ である。
従って、
(07)により、
(08)
③ ∀x(Fx→ Gx)
④ ~∃x(Fx&~Gx)
に於いて、
x=z
Fx=~鼻zx
Gx=~長z
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
③ ∀z(~鼻zx→~長z)
④ ~∃z(~鼻zx& 長z)
従って、
(09)
③ ∀x(Fx→ Gx)
④ ~∃x(Fx&~Gx)
に於いて、
x=y
Fx=鼻yx
Gx=~長y
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
③ ∀y(鼻yx→~長y)
④ ~∃y(鼻yx& 長y)
従って、
(05)(08)(09)により、
(10)
① ∀x{象x→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
③ ∀x{~∃z(~鼻zx&長z)→~∃y(鼻yx&長y)→~象x}
に於いて、
①=③ は、「対偶(Contraposition)」である。
然るに、
(11)
(ⅳ)
1 (1) ∀x{~∃z(~鼻zx&長z)→~∃y(鼻yx&長y)→~象x} A
1 (2) ~∃z(~鼻za&長z)→~∃y(鼻ya&長y)→~象a 1UE
3 (3) 象a A
3 (4) ~~象a 3DN
13 (5) ~{~∃z(~鼻za&長z)→~∃y(鼻ya&長y)} 24MPP
6(6) ∃z(~鼻za&長z)∨~∃y(鼻ya&長y) A
6(7) ~∃z(~鼻za&長z)→~∃y(鼻ya&長y) 6含意の定義
136(8) ~{~∃z(~鼻za&長z)→~∃y(鼻ya&長y)}&
{~∃z(~鼻za&長z)→~∃y(鼻ya&長y)} 57&I
13 (9) ~{∃z(~鼻za&長z)∨~∃y(鼻ya&長y)} 68RAA
13 (ア) ~∃z(~鼻za&長z)&∃y(鼻ya&長y) 9ド・モルガンの法則
13 (イ) ∃y(鼻ya&長y)&~∃z(~鼻za&長z) ア交換法則
1 (ウ) 象a→∃y(鼻ya&長y)&~∃z(~鼻za&長z) 3イCP
1 (エ)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~∃z(~鼻zx&長z)} ウUI
従って、
(10)(11)により、
(12)
「番号」を付け直すと、
① ∀x{象x→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
② ∀x{~∃z(~鼻zx&長z)→~∃y(鼻yx&長y)→~象x}
③ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~∃z(~鼻zx&長z)}
に於いて、
①=② は、「対偶(Contraposition)」である。
②=③ は、「対偶(Contraposition)」である。
従って、
(12)により、
(13)
「番号」を付け直すと、
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~∃z(~鼻zx&長z)}
② ∀x{~∃z(~鼻zx&長z)→~∃y(鼻yx&長y)→~象x}
①=② は、「対偶(Contraposition)」である。
従って、
(03)(13)により、
(14)
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~∃z(~鼻zx&長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyは、xの鼻であって、長く、xの鼻以外で、長いzは存在しない。⇔
② 鼻以外が長くなくて、鼻も長くないならば、象ではない。⇔
② ∀x{~∃z(~鼻zx&長z)→~∃y(鼻yx&長y)→~象x}⇔
② すべてのxについて、xの鼻以外で長いzが存在せず、xの鼻であって長いyが存在しないならば、xは象ではない。
といふ「等式」が、成立する。
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