（509）「象は鼻が長い」の「述語論理」の「対偶」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　３　　　（３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　１ＵＥ
　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ
　　　６　　（６）　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（８）　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　４７ＭＰＰ
　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５８ＭＰＰ
１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　６　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
１　　６　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　エＵＥ
　２　６　　（カ）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　キ（キ）　　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ
　２　６　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　クＵＥ
　２　６　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　ケ＆Ｅ
　　　　　キ（サ）　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ
　２　６　キ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　コサＭＰＰ
１２　６　キ（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　　　　　　　　　オシＭＰＰ
　　　　ウ　（セ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
１２　６ウキ（ソ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ　
１２　６ウ　（タ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カキソＥＥ　
１２　６　　（チ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イウタＥＥ
１２３　　　（ツ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３６チＥＥ
１２　　　　（テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３ツＲＡＡ
１２　　　　（ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ量化子の関係
１２　　　　（ナ）　　～（象ａ＆兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　トＵＥ
１２　　　　（ニ）　　～象ａ∨～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナ、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ヌ）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ニ交換法則
１２　　　　（ネ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヌ含意の定義
１２　　　　（ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ネＵＩ
１２　　　　（〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。　　　　　　　　　　　　ネＵＩ
１２　　　　（〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。　　　　　　　　　　　　　　　　ネＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
１２　　　　（ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ネＵＩ
といふ「推論」、すなはち、
　　　　　　（１）象は鼻が長い。然るに、
　　　　　　（２）兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
　　　　　　（３）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。　
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　　（１）　　　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　（２）　　　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　Ａ
　　４（４）　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３４（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　３４ＭＰＰ
　３４（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　５ＵＥ　
　３４（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　６含意の定義
　３４（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆　長ｂ）　　７ド・モルガンの法則
　３４（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　８ＵＩ
　３４（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　９量化子の関係
　３　（イ）　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　４アＣＰ
　３　（ウ）　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　イ含意の定義
　３　（エ）　　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ウ交換法則
　３　（オ）　　　　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　エ、ド・モルガンの法則
１３　（カ）　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２オＭＴＴ
１　　（キ）　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）→～象ａ　　　３カＣＰ
１　　（ク）∀ｘ｛∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）→～象ｘ｝　　キＵＩ
（ⅱ）
１　　　　（１）　　∀ｘ｛∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）→～象ｘ｝　Ａ
１　　　　（２）　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）→～象ａ　　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ　　Ａ
　３　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ａ　　３ＤＮ
１３　　　（５）　　　～｛∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）｝　　　　２３ＭＴＴ
　　６　　（６）　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　Ａ
　　６　　（７）　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　６含意の定義
１３６　　（８）　　　～｛∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）｝＆
　　　　　　　　　　　　｛∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）｝　　　　５７＆
１３　　　（９）　　～｛～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）｝　　　　６８ＲＡＡ
１３　　　（ア）　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　９ド・モルガンの法則
１３　　　（イ）　　　　　～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　ア交換法則
１３　　　（ウ）　　　　　～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
１３　　　（エ）　　　　　∃ｙ～（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ量化子の関係
　　　オ　（オ）　　　　　　　～（鼻ｂａ→～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　カ（カ）　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　カ（キ）　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カ含意の定義
　　　オカ（ク）　　　　　　　～（鼻ｂａ→～長ｂ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ｂａ→～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　オキ＆Ｉ
　　　オ　（ケ）　　　　　　～（～鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　カクＲＡＡ
　　　オ　（コ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ケ、ド・モルガンの法則
　　　オ　（サ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　コＥＩ
１３　　　（シ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　エオサＥＥ
１３　　　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　イ＆Ｅ
１３　　　（セ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　シス＆Ｉ
１　　　　（ソ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　３セＣＰ
１　　　　（タ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　　ソＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）→～象ｘ｝
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１　　（１）　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　Ａ
　　３（３）　　　　Ｆａ＆～Ｇａ　　Ａ
　　３（４）　　　　Ｆａ　　　　　　３＆Ｅ
　　３（５）　　　　　　　～Ｇａ　　３＆Ｅ
１　　（６）　　　　Ｆａ→　Ｇａ　　１ＵＥ
１　３（７）　　　　　　　　Ｇａ　　４６ＭＰＰ
１　３（８）　　　　Ｆａ＆～Ｇａ　　５７＆Ｉ
１２　（９）　　　　Ｆａ＆～Ｇａ　　２３８ＥＥ
１　　（ア）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
（ⅳ）
１　　　（１）　～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　　Ａ
　２　　（２）　～∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　　Ａ
　２　　（３）　∃ｘ～（Ｆｘ→　Ｇｘ）　　２量化子の関係
　　４　（４）　　　～（Ｆａ→　Ｇａ）　　Ａ
　　　５（５）　　　　～Ｆａ∨　Ｇａ　　　Ａ
　　　５（６）　　　　　Ｆａ→　Ｇａ　　　６含意の定義
　　４５（７）　　　～（Ｆａ→　Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｆａ→　Ｇａ）　　４６＆Ｉ
　　４　（８）　　～（～Ｆａ∨　Ｇａ）　　５７ＲＡＡ
　　４　（９）　　　　　Ｆａ＆～Ｇａ　　　８ド・モルガンの法則
　　４　（ア）　　∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　　９ＥＩ
　２　　（イ）　　∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　　３４アＥＥ
１２　　（ウ）　～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）＆
　　　　　　　　　∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～～∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　　２ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）　　エＤＮ
従って、
（06）により、
（07）
③ 　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）
④ ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
③ 　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）
④ ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
に於いて、
　ｘ＝ｚ
Ｆｘ＝～鼻ｚｘ
Ｇｘ＝～長ｚ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ 　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
④ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）
従って、
（09）
③ 　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｇｘ）
④ ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
に於いて、
　ｘ＝ｙ
Ｆｘ＝鼻ｙｘ
Ｇｘ＝～長ｙ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ 　∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）
④ ～∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）
従って、
（05）（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝
に於いて、
①＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（11）
（ⅳ）
１　　（１）　∀ｘ｛～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝　Ａ
１　　（２）　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～象ａ　　１ＵＥ
　３　（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ　　Ａ
　３　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ａ　　３ＤＮ
１３　（５）　　～｛～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝　　　　　２４ＭＰＰ
　　６（６）　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　Ａ
　　６（７）　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　６含意の定義
１３６（８）　　～｛～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝＆
　　　　　　　　　｛～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝　　　　　５７＆Ｉ
１３　（９）　　　～｛∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝　　　　　６８ＲＡＡ
１３　（ア）　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　９ド・モルガンの法則
１３　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　ア交換法則
１　　（ウ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　３イＣＰ
１　　（エ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　ウＵＩ
従って、
（10）（11）により、
（12）
「番号」を付け直すと、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（12）により、
（13）
「番号」を付け直すと、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（03）（13）により、
（14）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、ｘの鼻以外で、長いｚは存在しない。⇔
② 鼻以外が長くなくて、鼻も長くないならば、象ではない。⇔
② ∀ｘ｛～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝⇔
② すべてのｘについて、ｘの鼻以外で長いｚが存在せず、ｘの鼻であって長いｙが存在しないならば、ｘは象ではない。
といふ「等式」が、成立する。