(01)
1 (1)P A
2(2)P→Q A
12(3) Q 12MPP
といふ「推論」は、
すなはち、
1 (1)Pである。 と「仮定」する。
2(2)PならばQである。 と「仮定」する。
12(3) Qである。 12MPP
といふ「推論」は、
(1)が「真」であって、
(2)も「真」であれば、必然的に、
(3)は「真」である。
といふ、「意味」である。
然るに、
(02)
① P(真)→Q(真)
② P(真)→Q(偽)
に於いて、
① は、「真」であるが、
② は、「偽」である。
従って、
(01)(02)により、
(03)
たしかに、
1 (1)P A
2(2)P→Q A
12(3) Q 12MPP
に於いて、
(1)が「真」であって、
(2)も「真」であれば、必然的に、
(3)は「真」である。
然るに、
(04)
1(1) P A
1(2) P∨Q 1∨I
(3) P→(P∨Q) 12CP
(4)~P∨(P∨Q) 3含意の定義
(5)(~P∨P)∨Q 結合法則
(05)
1(1)P A
1(2)P∨~Q 1∨I
(3)P→(P∨~Q) 12CP
(4)~P∨P∨~Q 3含意の定義
(5)(~P∨P)∨~Q 結合法則
従って、
(04)(05)により、
(06)
③ P→(P∨ Q)=Pであるならば(Pであるか、Qである)。
④ P→(P∨~Q)=Pであるならば(Pであるか、Qでない)。
に於いて、
③ は、「常に真(トートロジー)」であって、
④ も、「常に真(トートロジー)」である。
然るに、
(07)
③ Pであるならば(Pであるか、Qである)。
④ Pであるならば(Pであるか、Qでない)。
に於いて、
③ は、「常に真(トートロジー)」であって、それと同時に、
④ も、「常に真(トートロジー)」である。
といふことは、
④ Pであるならば(Pであるか、Qである)が、Qであるかどうかは、「不明」である。
といふことに、他ならない。
然るに、
(08)
(ⅰ)
1(1)P A
1(2)P∨Q 1∨I
1(3)P&(P∨Q) 12&I
(ⅱ)
1(1)P&(P∨Q) A
1(2)P 1&E
従って、
(09)
(ⅰ)P
(ⅱ)P&(P∨Q)
に於いて、
(ⅰ)=(ⅱ) である。
従って、
(09)により、
(10)
⑤ P⇔P&(P∨Q)
⑤ Pならば、そのときに限って、Pであって(Pであるか、Qである)。
然るに、
(11)
⑤ P⇔P&(P∨Q) は、
⑤ 真⇔真&(真∨真) だけでなく、
⑤ 真⇔真&(真∨偽) であっても、「真」である。
従って、
(10)(11)により、
(12)
⑤ Pであるならば、そのときに限って、Pであって(Pであるか、Qである)が、Qであるかどうかは、「不明」である。
然るに、
(13)
(ⅰ)
1 (1)P A
1 (2)P∨(P&Q) 1∨I
(ⅱ)
1 (1)P∨(P&Q) A
2 (2)P A
3(3) P&Q 1&E
3(4) P 3&E
1 (5)P 12234∨E
従って、
(13)により、
(14)
(ⅰ)P
(ⅱ)P∨(P&Q)
に於いて、
(ⅰ)=(ⅱ) である。
従って、
(14)により、
(15)
⑥ P⇔P∨(P&Q)
⑥ Pであるならば、そのときに限って、Pであるか(Pであって、Qである)。
然るに、
(16)
⑥ P⇔P∨(P&Q) は、
⑥ 真⇔真∨(真&真) だけでなく、
⑥ 真⇔真∨(真&偽) であっても、「真」である。
従って、
(15)(16)により、
(17)
⑥ Pであるならば、そのときに限って、Pであるか(Pであって、Qである)が、Qであるかどうかは、「不明」である。
従って、
(04)(07)(12)(17)により、
(18)
1(1)P A
1(2)P∨Q 1選言導入の規則
であるとして、すなはち、
1(1)Pである。 と「仮定」すると、それだけで、
1(2)Pであるか、Qである。 としても、
④ Pであるならば(Pであるか、Qである)が、Qであるかどうかは、「不明」である。
⑤ Pであるならば、そのときに限って、Pであって(Pであるか、Qである)が、Qであるかどうかは、「不明」である。
⑥ Pであるならば、そのときに限って、Pであるか(Pであって、Qである)が、Qであるかどうかは、「不明」である。
といふ、ことになる。
従って、
(19)
1(1)Pである。 と「仮定」すると、それだけで、
1(2)Pであるか、Qである。 としても、Pではあるが、Qであるかどうかは、「不明」である。
とするのが、「選言導入の規則(∨I)」である。といふ、ことになる。
然るに、
(20)
この規則は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をPとしましょう。すると、このPから「彼女は背が高い または 彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Qは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い または 彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします(小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、156頁)。
然るに、
(21)
「彼女は背が高い または 彼女は美人だ。」といふ会話は、ともかく、
「彼女は背が高い が、彼女が美人であるかどうかは分からない。」といふ会話であれば、「普通」である。
従って、
(19)(20)(21)により、
(22)
1(1)Pである。 と「仮定」すると、それだけで、
1(2)Pであるか、Qである。 としても、Pではあるが、Qであるかどうかは、「不明」である。
とする、「選言導入の規則(∨I)」は、「少しも、不自然」ではない。
(23)
(ⅰ)
1(1)P A
1(2)P∨Q 1∨I
に於ける。
1(2)P∨Q 1∨I
に於いて、
1(2)の左には、
1 しかない。
然るに、
(23)により、
(24)
1(1)P A
1(2)P∨Q 1∨I
に於いて、
1(2)の左には、
1 しかない。
といふことは、
1の行 は、 「真 」であるが、
1の行 以外の「真偽」は、
1の行 に「依存」する。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
(25)
1(1)Socrates is a man. A
1(2)Socrates is a man or pigs are flying in formation over the English Channel. 1∨I
に於ける、
1の行 とは、
1(1)ソクラテスは人間である。 A
である。
従って、
(24)(25)により、
(26)
1(2)ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。 1∨I
といふ「命題」が「真」であったとしても、「豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいるか、どうかは分からない。」
従って、
(24)(25)(26)により、
(27)
1(1)ソクラテスは人間である。 A
1(2)ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。 1∨I
といふ「推論」を、「不自然」であると、思ふのであれば、
1(2)の左には、
1 しかない。
といふことは、
1の行 は、 「真 」であるが、
1の行 以外の「真偽」は、
1の行 に「依存」する。
といふことを、「教へられてゐない」か、「忘れてゐる」の、どちらかである。
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