（01）
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は「含意の定義」である。
然るに、
（03）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② であるならば、
① 偽→Ｑ
② ～偽∨Ｑ
に於いても、
①＝② である。
然るに、
（04）
～偽＝偽ではない＝真である＝真。
従って、
（03）（04）により、
（05）
② ～偽∨Ｑ
③ 真∨Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① 偽→Ｑ
② ～偽∨Ｑ
③ 真∨Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
① 偽→Ｑ
③ 真∨Ｑ
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（08）
③ Ａ∨Ｑ＝（Ａが真）であるか、または、（Ｑが真である）。
の場合は、
③ Ａが「真」であれば、それだけで、「真」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 偽→Ｑ
③ 真∨Ｑ
に於いて、
①＝③ であって、尚且つ、
③ は、「真」である。
従って、
（09）により、
（10）
① 偽→Ｑ
③ 真∨Ｑ
に於いて、
③ だけでなく、
① も、「真」である。
従って、
（10）により、
（11）
① 偽→Ｑ
は、「真」である。
然るに、
（12）
（Ｐ＆～Ｐ）は「矛盾」であるが、
「矛盾」は、「偽（ウソ）」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① 偽→Ｑ
は、「真」であるため、
①（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
は、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ∨ Ｑ １∨Ｉ
２ （３） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
２ （５） ～Ｐ ３＆Ｅ
２４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
２ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
２ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） １４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） ～Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ エＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→ Ｑ エケＣＰ
（サ） Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） １コＣＰ
シ（シ） Ｐ＆ ～Ｐ Ａ
シ（ス） Ｐ シ＆Ｅ
シ（セ） ～Ｐ→Ｑ サスＭＰＰ
シ（ソ） ～Ｐ シ＆Ｅ
シ（タ） Ｑ セソＭＰＰ
（チ）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ シタＣＰ
従って、
（13）（14）により、
（15）
果たして、
①（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
は、「恒に真（トートロジー）」である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
といふ「結果」として、
①（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
は、「恒に真（トートロジー）」である。
然るに、
（17）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
① ～Ｐ→Ｑ
② ～～Ｐ∨Ｑ
従って、
（17）により、
（18）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～Ｐ→Ｑ
② Ｐ∨Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐでないならば、 Ｑである。
② Ｐであるか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② であるが、このことは、「当然」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
① Ｐでないならば、 Ｑである。
② Ｐであるか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
といふ「この点」からすれば、
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「むしろ、当然」である。
然るに、
（20）
「ウィキペディア（適切さの論理）」によると、
例えば以下の三つの条件文は全て古典論理においては真であるが、我々は真であるとは考えない。
「１＋１＝２」ならば「雪は白い」
「１＋１＝５」ならば「雪は白い」
「１＋１＝５」ならば「雪は黒い」
この我々が普段使用する「ならば」と古典論理における実質含意の乖離が実質含意のパラドクスである。
この我々が普段使用する「ならば」と実質含意の乖離について、多くの研究が行われきた（Anderson and Belnap 1975, Cheng 1996）。
との、ことである。
然るに、
（19）（20）により、
（21）
①「１＋１＝２」ならば「雪は白い」
②「１＋１＝５」ならば「雪は白い」
③「１＋１＝５」ならば「雪は黒い」
といふ「命題」は、「実質含意」としては、
①「１＋１≠２」であるか、または、「雪は白い」
②「１＋１≠５」であるか、または、「雪は白い」
③「１＋１≠５」であるか、または、「雪は黒い」
といふ「意味」である。
然るに、
（22）
④「１＋１≠２」であるか、または、「雪は黒い」
ではないため、
①「１＋１≠２」であるか、または、「雪は白い」
②「１＋１≠５」であるか、または、「雪は白い」
③「１＋１≠５」であるか、または、「雪は黒い」
といふ「命題」は、「３つ」とも、「真（本当）」である。
因みに、
（23）
六・一 論理学の命題はトートロジーである。
六・一一 論理学の命題は何ごとも語らない。（分析命題である。）
（吉田徹也、ウィトゲンシュタイン 論理哲学論考、2019年、２７８頁）
でいふ「論理学」は、
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
やうな「（古典）論理学」を言ふ。
（01）
（ａ）
原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明すると、
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１ （３） ～～Ｐ∨Ｑ ２ＤＮ
１ （４） ～Ｐ→Ｑ ３含意の定義
（５）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） １４ＣＰ
６（６）Ｐ＆ ～Ｐ Ａ
６（７）Ｐ ６＆Ｅ
６（８） ～Ｐ→Ｑ ５７ＭＰＰ
６（９） ～Ｐ ６＆Ｅ
６（ア） Ｑ ８９ＭＰＰ
（イ） Ｐ＆～Ｐ→Ｑ ６アＣＰ
（ｂ）
原始的規則だけを用いて、証明すると、
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ∨ Ｑ １∨Ｉ
２ （３） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
２ （５） ～Ｐ ３＆Ｅ
２４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
２ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
２ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） ～Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ エＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→ Ｑ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） １コＣＰ
シ（シ）Ｐ＆ ～Ｐ Ａ
シ（ス）Ｐ シ＆Ｅ
シ（セ） ～Ｐ→Ｑ サスＭＰＰ
シ（ソ） ～Ｐ シ＆Ｅ
シ（タ） Ｑ セソＭＰＰ
（チ） Ｐ＆～Ｐ→Ｑ シタＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 矛盾（Ｐ＆～Ｐ）
② 任意の命題（Ｑ）
に於いて、
① が「真」であるならば、
② も「真」である。
然るに、
（03）
① 矛盾（Ｐ＆～Ｐ）
② 任意の命題（Ｑ）
に於いて、
① は、「恒に偽」であるため、
② の「真偽」は、「不明」である。
従って、
（03）により、
（04）
Ｐ＝太陽は東から昇る。
～Ｐ＝太陽は西から昇る。
Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
であるとして、
① 太陽は東から昇って、太陽は西から昇る。
② バカボンのパパは天才である。
に於いて、
① ならば、② である。
といふ「仮言命題」は、「恒真（トートロジー）」であるが、
② が「真であるか、偽であるか」は、「不明」である。