（01）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ→～Ｇａ １ＵＥ
３（３） Ｇａ Ａ
３（４） ～～Ｇａ ３ＤＮ
１３（５） ～Ｆａ ２４ＭＴＴ
１ （６） Ｇａ→～Ｆａ ３５ＣＰ
１ （７）∀ｘ（Ｇｘ→～Ｆｘ） ６ＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（Ｇｘ→～Ｆｘ） Ａ
１ （２） Ｇａ→～Ｆａ １ＵＥ
３（３） Ｆａ Ａ
３（４） ～～Ｆａ ３ＤＮ
１３（５） ～Ｇａ ２４ＭＴＴ
１ （６） Ｆａ→～Ｇａ ３５ＣＰ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） ６ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｇｘ→～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧではない。
② すべてのｘについて、ｘがＧならば、ｘはＦではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ＦはＧではない。
② ＧはＦではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ＦはＧではない。
の場合、
②「逆」も必ず「真」である。
従って、
の場合、
②「逆」も必ず「真」である。
従って、
（04）により、
（05）
例へば、
① 偶数は奇数ではない。
② 奇数は偶数ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１ （１）～∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（Ｆｘ→～Ｇｘ） １量化子の関係
３（３） ～（Ｆａ→～Ｇａ） Ａ
３（４） ～（～Ｆａ∨～Ｇａ） ３含意の定義
３（５） Ｆａ＆ Ｇａ ４ド・モルガンの法則
３（６） ∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ） ５ＥＩ
１ （７） ∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ） ２３６ＥＥ
（ⅳ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ＆ Ｇａ Ａ
２（３） ～（～Ｆａ∨～Ｇａ） ２ド・モルガンの法則
２（４） ～（Ｆａ→～Ｇａ） ３含意の定義
２（５）∃ｘ～（Ｆｘ→～Ｇｘ） ４ＥＩ
１ （６）～∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） ２量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
③（すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧではない）といふわけではない。
④（Ｆであって、Ｇであるｘ）が存在する。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
③（ＦはＧでない）といふわけではない。
④ あるＦはＧである。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
例へば、
③（素数は偶数でない）といふわけではない。
④ ある素数は偶数である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（05）（09）により、
（10）
① 偶数は奇数ではない。
② 奇数は偶数ではない。
③（素数は偶数でない）といふわけではない。
④ ある素数は偶数である。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
ということに、なるものの、「だからどうした」といふ感じである。
（11）
いづれにしても、
① 偶数は奇数ではない。
② 奇数は偶数ではない。
といふことは、
①「任意の奇数」は「偶数の集合の元ではない」。
②「任意の偶数」は「奇数の集合の元ではない」。
といふことに、他ならない。
―「量化子の関係」の「証明」―
（12）
（ⅰ）
１ （１） ～∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（～Ｆｘ） ３
２３（５） ～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
∃ｘ（～Ｆｘ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ） ７ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘ（ Ｆｘ）＆
∀ｘ（ Ｆｘ） １８＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ（～Ｆｘ） アＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
２ （４） Ｆａ ２ＵＥ
２３（５） ～Ｆａ＆Ｆａ ３４＆Ｉ
３（６） ～∀ｘ（ Ｆｘ） ２５ＲＡＡ
１ （７） ～∀ｘ（ Ｆｘ） １３６ＥＥ
従って、
（12）により、
（13）
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
①（全てのｘがＦである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
―「量化子の関係」を「命題論理」で「証明」する。―
（14）
（ⅰ）
１ （１） ～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） Ａ
２ （２） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｆａ ３６ＲＡＡ
２ （８） Ｆａ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
９ （ア） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～Ｆｂ ９ウＲＡＡ
２ （オ） Ｆｂ エＤＮ
カ（カ） ～Ｆｃ Ａ
カ（キ） ～Ｆｂ∨～Ｆｃ カ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２９＆Ｉ
２ （コ） ～～Ｆｃ カケＲＡＡ
２ （サ） Ｆｃ コＤＮ
２ （シ） Ｆａ＆Ｆｂ ８オ＆Ｉ
２ （ス） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）＆
（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２ス＆Ｉ
１ （ソ）～～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２セＲＡＡ
１ （タ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ソＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ Ａ
２ （２） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ Ａ
１ （３） （～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨～Ｆｃ ２結合法則
４ （４） （～Ｆａ∨～Ｆｂ） Ａ
５ （５） ～Ｆａ Ａ
２ （６） Ｆａ ２＆Ｅ
２ ５ （７） ～Ｆａ＆Ｆａ ５６＆Ｉ
５ （８） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２７ＲＡＡ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
２ （ア） Ｆｂ ２＆Ｅ
２ ９ （イ） ～Ｆｂ＆Ｆｂ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２イＲＡＡ
４ （エ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） ～Ｆｃ Ａ
２ （カ） Ｆｃ ２＆Ｅ
２ オ（キ） ～Ｆｃ＆Ｆｃ オカ＆Ｉ
オ（ク） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２キＲＡＡ
１ （コ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） １４エオク∨Ｅ
従って、
（14）により、
（15）
① ～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、すなはち、
①（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
②（ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないか）の何れかである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
①（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
②（ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないか）の何れかである。
に於いて、
①＝② であるといふことは、
①（全てのｘがＦである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（17）
①（全てのｘがＦである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である。
といふことに、他ならない。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
③ （すべてのｘがＦである）といふわけではない。
④ （Ｆでないｘ）が存在する。
⑤ ～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
⑥ （～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
⑦ （ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
⑧ （ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないか）の何れかである。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（18）により、
（19）
「述語論理」は、「命題論理」に他ならない。
（05）
例へば、
① 偶数は奇数ではない。
② 奇数は偶数ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１ （１）～∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（Ｆｘ→～Ｇｘ） １量化子の関係
３（３） ～（Ｆａ→～Ｇａ） Ａ
３（４） ～（～Ｆａ∨～Ｇａ） ３含意の定義
３（５） Ｆａ＆ Ｇａ ４ド・モルガンの法則
３（６） ∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ） ５ＥＩ
１ （７） ∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ） ２３６ＥＥ
（ⅳ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ＆ Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ＆ Ｇａ Ａ
２（３） ～（～Ｆａ∨～Ｇａ） ２ド・モルガンの法則
２（４） ～（Ｆａ→～Ｇａ） ３含意の定義
２（５）∃ｘ～（Ｆｘ→～Ｇｘ） ４ＥＩ
１ （６）～∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） ２量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
③（すべてのｘについて、ｘがＦならば、ｘはＧではない）といふわけではない。
④（Ｆであって、Ｇであるｘ）が存在する。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
③（ＦはＧでない）といふわけではない。
④ あるＦはＧである。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
例へば、
③（素数は偶数でない）といふわけではない。
④ ある素数は偶数である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（05）（09）により、
（10）
① 偶数は奇数ではない。
② 奇数は偶数ではない。
③（素数は偶数でない）といふわけではない。
④ ある素数は偶数である。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
ということに、なるものの、「だからどうした」といふ感じである。
（11）
いづれにしても、
① 偶数は奇数ではない。
② 奇数は偶数ではない。
といふことは、
①「任意の奇数」は「偶数の集合の元ではない」。
②「任意の偶数」は「奇数の集合の元ではない」。
といふことに、他ならない。
―「量化子の関係」の「証明」―
（12）
（ⅰ）
１ （１） ～∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（～Ｆｘ） ３
２３（５） ～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
∃ｘ（～Ｆｘ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘ（ Ｆｘ） ７ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘ（ Ｆｘ）＆
∀ｘ（ Ｆｘ） １８＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ（～Ｆｘ） アＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（ Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
２ （４） Ｆａ ２ＵＥ
２３（５） ～Ｆａ＆Ｆａ ３４＆Ｉ
３（６） ～∀ｘ（ Ｆｘ） ２５ＲＡＡ
１ （７） ～∀ｘ（ Ｆｘ） １３６ＥＥ
従って、
（12）により、
（13）
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、すなはち、
①（全てのｘがＦである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
―「量化子の関係」を「命題論理」で「証明」する。―
（14）
（ⅰ）
１ （１） ～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） Ａ
２ （２） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｆａ ３６ＲＡＡ
２ （８） Ｆａ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
９ （ア） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～Ｆｂ ９ウＲＡＡ
２ （オ） Ｆｂ エＤＮ
カ（カ） ～Ｆｃ Ａ
カ（キ） ～Ｆｂ∨～Ｆｃ カ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２９＆Ｉ
２ （コ） ～～Ｆｃ カケＲＡＡ
２ （サ） Ｆｃ コＤＮ
２ （シ） Ｆａ＆Ｆｂ ８オ＆Ｉ
２ （ス） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）＆
（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２ス＆Ｉ
１ （ソ）～～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２セＲＡＡ
１ （タ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ソＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ Ａ
２ （２） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ Ａ
１ （３） （～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨～Ｆｃ ２結合法則
４ （４） （～Ｆａ∨～Ｆｂ） Ａ
５ （５） ～Ｆａ Ａ
２ （６） Ｆａ ２＆Ｅ
２ ５ （７） ～Ｆａ＆Ｆａ ５６＆Ｉ
５ （８） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２７ＲＡＡ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
２ （ア） Ｆｂ ２＆Ｅ
２ ９ （イ） ～Ｆｂ＆Ｆｂ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２イＲＡＡ
４ （エ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） ～Ｆｃ Ａ
２ （カ） Ｆｃ ２＆Ｅ
２ オ（キ） ～Ｆｃ＆Ｆｃ オカ＆Ｉ
オ（ク） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２キＲＡＡ
１ （コ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） １４エオク∨Ｅ
従って、
（14）により、
（15）
① ～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、すなはち、
①（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
②（ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないか）の何れかである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
①（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
②（ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないか）の何れかである。
に於いて、
①＝② であるといふことは、
①（全てのｘがＦである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（17）
①（全てのｘがＦである）といふわけではない。
②（Ｆでないｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である。
といふことに、他ならない。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ～∀ｘ（ Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
③ （すべてのｘがＦである）といふわけではない。
④ （Ｆでないｘ）が存在する。
⑤ ～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
⑥ （～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
⑦ （ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
⑧ （ａがＦでないか、ｂがＦでないか、ｃがＦでないか）の何れかである。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（18）により、
（19）
「述語論理」は、「命題論理」に他ならない。