日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(1048)「チャート式 基礎からの確率・統計、練習2」

2022-03-11 21:18:18 | 論理

(01)
練習2 A⊆B⇔A∪B=B,また、A⊆B⇔A∩B=A を証明せよ。
(数研出版、チャート式 基礎からの確率・統計、初版 昭和42年、13頁)
然るに、
(02)
「練習略解」は「分かり難い」ため、
命題計算」で『証明』することにした。
然るに、
(03)
(ⅰ)
1    (1) A→B     仮定
 2   (2) A∨B     仮定
  3  (3) A       仮定
1 3  (4)   B     13MPP
   5 (5)   B     仮定
12   (6)   B     23455∨E
1    (7) A∨B→B   26CP
    8(8)   B     A
    8(9) A∨B     8∨I
     (ア) B→A∨B   89CP
1    (イ)(A∨B→B)&
        (B→A∨B)  7ア&I
1    (ウ) A∨B⇔B   イDf.⇔
(ⅱ)
1    (1) A∨B⇔B   仮定
1    (2)(A∨B→B)&
        (B→A∨B)  1Df.⇔
1    (3) A∨B→B   2&E
 4   (4) A       仮定
 4   (5) A∨B     4∨I
14   (6)     B   35MPP
1    (7) A→B     46CP
(ⅲ)
1  (1) A→B     仮定
 2 (2) A&B     仮定
 2 (3) A       2&E
   (4) A&B→A   23CP
  5(5) A       A
1 5(6)   B     15MPP
1 5(7) A&B     56&I
1  (8) A→A&B   57CP
1  (9)(A&B→A)&
      (A→A&B)  48&I
1  (ア) A&B⇔A   9Df.⇔
(ⅳ)
1 (1) A&B⇔A   A
1 (2)(A&B→A)&
     (A→A&B)  1Df.⇔
1 (3) A→A&B   2&E
 4(4) A       A
14(5)   A&B   34MPP
14(6)     B   5&E
1 (7) A→B     46CP
従って、
(03)により、
(04)
命題論理」の「言葉(記号)」で書くと、
① A→B
② A∨B⇔B
③ A→B
④ A&B⇔A
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
従って、
(04)により、
(05)
集合」の「言葉(記号)」で書くと、
① A⊆B
② A∪B=B
③ A∩B=A
に於いて、
①=②=③ である。